Để giải bài toán này, ta sẽ phân tích từng yêu cầu trong đề bài:

### a) Tứ giác DKMN là hình gì?

Ta có tứ giác DKMN với các điểm:
- D: đỉnh góc vuông.
- K: thuộc cạnh DF.
- M: điểm trên đường trung tuyến DM.
- N: điểm vuông góc với DE.

Xét sự sắp xếp các đỉnh:
- N là điểm trên MN, và MN vuông góc với DE.
- M là điểm trên DM (đường trung tuyến).

Có thể khẳng định rằng:
- DK và MN vuông góc với nhau.
- Vì DM là trung tuyến, theo định lý trung tuyến, ta có DM = \(\frac{EF}{2}\).

=> Kết luận: Tứ giác DKMN là hình chữ nhật.

### b) Gọi O là trung điểm của DM. Chứng minh 3 điểm H, O, F thẳng hàng.

- O là trung điểm của DM.
- Đường thẳng MN (vuông góc với DE) chia tam giác DEF thành hai tam giác \(\triangle DMN\) và \(\triangle DFN\).
- H là điểm trên MN sao cho N là trung điểm của MH.

Dựa vào tính chất của đường trung tuyến và điểm trung bình, trong tam giác vuông DEF (với D là góc vuông), đường trung tuyến DM cũng sẽ cắt cạnh DE tại trung điểm của DE, cho nên O và F sẽ nằm trên đường thẳng đi qua H.

=> Kết luận: H, O, F thẳng hàng.

### c) ∆DEF cần thêm điều kiện gì để tứ giác DKMN là hình vuông?

Để DKMN là hình vuông, ta cần:
- DK = KN (cạnh DK bằng cạnh KN).
- Góc tại D (góc DKD) = 90 độ (khẳng định DK và KN vuông góc).

Điều kiện chính là:
- M phải được đặt sao cho DO = OM, hoặc M phải là trung điểm của DE.

Kết luận: Để tứ giác DKMN là hình vuông, cần có thêm điều kiện DK = KN và góc DKD = 90 độ.