Để giải các bài toán trên, ta sẽ thực hiện từng bước một.

### a) Tính \(\sqrt{55.77 \cdot 35}\)

Trước tiên, ta nhân các số với nhau:
\[
55.77 \cdot 35 = 1952.95
\]
Sau đó, lấy căn bậc hai:
\[
\sqrt{1952.95} \approx 44.23
\]

### b) Tính \(\sqrt{\frac{1}{\sqrt{8}} \cdot \sqrt{2} \cdot \sqrt{125} \cdot \frac{1}{\sqrt{5}}}\)

Tính từng phần trước:
- \(\sqrt{8} = 2\sqrt{2}\)
- \(\sqrt{125} = 5\sqrt{5}\)

Thay vào biểu thức:
\[
\sqrt{\frac{1}{2\sqrt{2}} \cdot \sqrt{2} \cdot 5\sqrt{5} \cdot \frac{1}{\sqrt{5}}}
\]
Giản ước:
\[
= \sqrt{\frac{1 \cdot 5}{2}} = \sqrt{\frac{5}{2}} = \frac{\sqrt{10}}{2}
\]

### c) Tính \(\sqrt{\sqrt{2} - \sqrt{2} + 1}\)

Tính bên trong căn:
\[
\sqrt{2} - \sqrt{2} + 1 = 1
\]
Do đó:
\[
\sqrt{1} = 1
\]

### Kết quả:
- a) \(\sqrt{55.77 \cdot 35} \approx 44.23\)
- b) \(\sqrt{\frac{5}{2}} = \frac{\sqrt{10}}{2}\)
- c) \(\sqrt{\sqrt{2} - \sqrt{2} + 1} = 1\)