Để chứng minh các yêu cầu trong bài toán, ta sẽ sử dụng một số kiến thức về tam giác và tính chất của các điểm. Dưới đây là hướng dẫn cho từng phần a), b), c) và d).

### a) Chứng minh \( AM \perp BC \)

1. **Theo định nghĩa**: M là trung điểm của BC, nên \( BM = MC \).
2. **Tam giác Isosceles**: Do \( AB = AC \), ta có \( \triangle ABM \cong \triangle ACM \) (cạnh chung AM, \( BM = MC \) và \( AB = AC \)).
3. **Góc vuông**: Từ đó, ta có \( \angle ABM = \angle ACM \) và \( \angle AMB + \angle AMC = 180^\circ \). Vậy, \( \angle AMB + \angle AMB = 180^\circ \) dẫn đến \( \angle AMB = \angle AMC \). Do đó, \( AM \perp BC \).

### b) Chứng minh \( \triangle ABD \cong \triangle ACE \)

1. **Cạnh tương ứng**: \( BD = CE \) (theo đề bài).
2. **Cạnh chung**: \( AB = AC \) (theo giả thiết).
3. **Góc chung**: \( \angle ADB = \angle AEC \) (do \( D \) và \( E \) nằm trên các tia đối của \( BC \)).
4. **Bằng nhau**: Theo tiêu chuẩn cạnh-góc-cạnh, ta có \( \triangle ABD \cong \triangle ACE \).

### c) Chứng minh \( \triangle ACD \cong \triangle ABE \)

1. **Cạnh tương ứng**: \( CD = BE \) (do tính chất của điểm D và E).
2. **Cạnh chung**: \( AC = AB \) (theo giả thiết).
3. **Góc chung**: \( \angle ACD = \angle ABE \) (bằng cách sử dụng góc đối).
4. **Bằng nhau**: Theo tiêu chuẩn cạnh-góc-cạnh, ta có \( \triangle ACD \cong \triangle ABE \).

### d) Chứng minh \( AM \) là tia phân giác của góc \( DAE \)

1. **Từ các tam giác đã chứng minh**: Ta đã có \( \triangle ABD \cong \triangle ACE \) và \( \triangle ACD \cong \triangle ABE \).
2. **Tính tương đối về góc**: Từ tính chất của các cạnh và góc tương ứng, \( AM \) chia góc \( DAE \) thành hai góc bằng nhau (do các góc đối nhau).
3. **Qua đó**: Kết luận rằng \( AM \) là tia phân giác của góc \( DAE \).

### Kết luận

Như vậy, chúng ta đã trình bày xong các chứng minh cho các phần a), b), c) và d) dựa vào các tính chất của các đoạn thẳng, tam giác và góc trong hình học.