Để giải bài toán này, ta sẽ chứng minh từng mục một.

### a) \( AM \) vuông góc với \( BC \)

Do \( M \) là trung điểm của \( BC \), trong tam giác vuông \( \triangle ABM \) và \( \triangle ACM \) có:
- \( AB = AC \) (do \( \triangle ABC \) là tam giác cân)
- \( BM = MC \) (vì \( M \) là trung điểm)

Sử dụng tính chất của tam giác cân và định lý về đường trung tuyến trong tam giác, ta có:
\[
AM \perp BC
\]

### b) \( \triangle ABD = \triangle ACE \)

Ta có:
- \( BD = CE \) (theo giả thiết)
- \( AB = AC \) (do \( \triangle ABC \) là tam giác cân)
- \( \angle ABD = \angle ACE \) do \( \overline{BD} \) và \( \overline{CE} \) đều là các đoạn thẳng trên cùng một đường thẳng

Từ đó, chúng ta có thể áp dụng tiêu chuẩn của tam giác đồng dạng để có:
\[
\triangle ABD \cong \triangle ACE
\]

### c) \( \triangle ACD = \triangle ABE \)

Ta xét:
- \( AC = AB \) (do \( \triangle ABC \) là tam giác cân)
- \( CD = BE \) (bởi \( BD = CE \) và \( D, E \) nằm ở phía đối diện tương ứng)
- \( \angle ACD = \angle ABE \) (do tính chất đối diện góc)

Vậy ta cũng có:
\[
\triangle ACD \cong \triangle ABE
\]

### d) \( AM \) là tia phân giác của góc \( DAE \)

Vì \( \triangle ABD \cong \triangle ACE \), có \( \angle DAB = \angle EAC \). Từ đó, ta có:

\[
\angle DAM = \angle EAM
\]

Do đó, tia \( AM \) chia góc \( DAE \) thành hai góc bằng nhau, tức là:

\[
AM \text{ là tia phân giác của } \angle DAE
\]

### Kết luận:

Tất cả các mục đều được chứng minh.