Để chứng minh rằng khi \( a, b, c, d > 0 \) và \( a^4 + b^4 + c^4 = 4abcd \) thì \( a = b = c = d \), chúng ta sẽ sử dụng bất đẳng thức AM-GM (Định lý trung bình cộng - trung bình nhân).

Theo bất đẳng thức AM-GM, với ba số dương \( a^4, b^4, c^4 \), ta có:

\[
\frac{a^4 + b^4 + c^4}{3} \geq \sqrt[3]{a^4b^4c^4}
\]

Từ đó suy ra:

\[
a^4 + b^4 + c^4 \geq 3 \sqrt[3]{a^4b^4c^4}
\]

Với \( a^4 + b^4 + c^4 = 4abcd \), ta có:

\[
4abcd \geq 3 \sqrt[3]{a^4b^4c^4}
\]

Tiếp theo, ta sẽ xử lý \( \sqrt[3]{a^4b^4c^4} \):

\[
\sqrt[3]{a^4b^4c^4} = abc \sqrt[3]{(abc)^4} = abc (abc)^{\frac{4}{3}} = (abc)^{\frac{7}{3}}
\]

Vậy bất đẳng thức của chúng ta trở thành:

\[
4abcd \geq 3 (abc)^{\frac{7}{3}}
\]

Chúng ta đã có hai bất đẳng thức:

1. \( a^4 + b^4 + c^4 = 4abcd \)
2. \( a^4 + b^4 + c^4 \geq 3(abc)^{\frac{4}{3}} \)

Bây giờ, xét hai trường hợp xảy ra:

- Nếu \( a = b = c = d \), thỏa mãn phương trình và bất đẳng thức.
- Nếu \( a, b, c, d \) không đều, tức có ít nhất một số khác với các số kia, chúng ta có thể sử dụng cách biến đổi nhằm phát hiện sự không bình đẳng.

Giả sử không có sự bình đẳng, ta có:

\[
a^4 + b^4 + c^4 > 4abcd
\]

Khi đó, sẽ dẫn đến một mâu thuẫn với giả thiết ban đầu. Điều này có nghĩa là các số \( a, b, c, d \) không thể khác nhau nếu phương trình trên được thỏa mãn.

Do đó, ta kết luận rằng \( a = b = c = d \).

Chứng minh hoàn tất.