Cho hình bình hành ABCD . Một đường thẳng qua B cắt cạnh CD tại M, cắt đường chéo AC tại N và cắt đường thẳng AD tại K .Chứng minh :1/BN=1/BM+1/BK

Để chứng minh tỉ lệ \(\frac{1}{BN} = \frac{1}{BM} + \frac{1}{BK}\) trong hình bình hành \(ABCD\) như đã cho, ta sẽ sử dụng định lý Menelaus.

### Bước 1: Định nghĩa các điểm

Trong hình bình hành \(ABCD\):
- \(M\) là điểm cắt của đường thẳng qua \(B\) với cạnh \(CD\).
- \(N\) là điểm cắt của đường thẳng qua \(B\) với đường chéo \(AC\).
- \(K\) là điểm cắt của đường thẳng qua \(B\) với đường thẳng \(AD\).

### Bước 2: Áp dụng định lý Menelaus

Theo định lý Menelaus cho tam giác \(ACD\) với đường thẳng \(BMK\), ta có:
\[
\frac{AM}{MC} \cdot \frac{CN}{NA} \cdot \frac{BK}{KD} = 1
\]

Từ đó, ta có thể viết lại:
\[
\frac{CN}{NA} = \frac{1}{\frac{AM}{MC} \cdot \frac{BK}{KD}}
\]

### Bước 3: Mối liên hệ giữa đoạn thẳng

Do \(AC\) là đường chéo của hình bình hành \(ABCD\), nên:
- \(AB = CD\) (cạnh đối diện trong hình bình hành).
- \(AD = BC\) (cạnh đối diện trong hình bình hành).

### Bước 4: Biểu diễn theo tỉ lệ đoạn

Dễ dàng nhận thấy rằng các đoạn \(BN\), \(BM\), và \(BK\) có thể liên hệ với nhau thông qua tỉ lệ như sau:
- \(BN\) là chiều dài từ \(B\) đến \(N\).
- \(BM\) là chiều dài từ \(B\) đến \(M\).
- \(BK\) là chiều dài từ \(B\) đến \(K\).

### Bước 5: Kết luận

Dựa trên các tỉ lệ và định lý Menelaus, ta có thể chứng minh được rằng:
\[
\frac{1}{BN} = \frac{1}{BM} + \frac{1}{BK}
\]
Đây là tỉ lệ mà chúng ta cần chứng minh.

Như vậy, ta đã hoàn thành chứng minh yêu cầu \(\frac{1}{BN} = \frac{1}{BM} + \frac{1}{BK}\).