Tìm các cặp số nguyên (x, y) thoả mãn x(x^4-y^2)=1-y^2 

Để tìm các cặp số nguyên \( (x, y) \) thoả mãn phương trình:

\[
x(x^4 - y^2) = 1 - y^2,
\]

ta hãy đơn giản hoá phương trình này. Đầu tiên, chuyển vế:

\[
x(x^4 - y^2) + y^2 = 1.
\]

Tiến hành phân tích phương trình, ta có:

\[
x^5 - xy^2 + y^2 = 1.
\]

Phương trình này có thể viết lại dưới dạng:

\[
x^5 - (x - 1)y^2 = 1.
\]

Từ đây, thấy được rằng \( y^2 \) có thể được viết như:

\[
y^2 = \frac{x^5 - 1}{x - 1}.
\]

Phương trình trên có nghĩa nếu \( x \neq 1 \).

Khi \( x = 1 \):

\[
1(1^4 - y^2) = 1 - y^2 \implies 1 - y^2 = 1 - y^2,
\]
điều này là đúng với mọi giá trị của \( y \). Vậy, tất cả các cặp \( (1, y) \) với \( y \in \mathbb{Z} \) thoả mãn phương trình.

Khi \( x \) khác 1, ta phải kiểm tra điều kiện của hàm số:

Từ phương trình \( y^2 = \frac{x^5 - 1}{x - 1} \):

Biểu thức này có nghĩa nếu \( x^5 - 1 \) chia hết cho \( x - 1 \). Ta có thể sử dụng định lý de l'Hôpital để đánh giá:

\[
\frac{x^5 - 1}{x - 1} = x^4 + x^3 + x^2 + x + 1.
\]

Biểu thức này luôn dương cho mọi \( x \neq 1 \), và do đó, không thể có giá trị nguyên khi \( x \geq 2 \).

Kiểm tra một vài giá trị \( x \):

- Nếu \( x = 0 \): phương trình trở thành \( 0 = 1 - y^2 \) không có nghiệm.
- Nếu \( x = -1 \): \( -(-1)^4 + y^2 = 1 - y^2 \implies -1 + y^2 = 1 - y^2 \) dẫn đến \( 2y^2 = 2 \implies y^2 = 1 \) hay \( y = 1 \) hoặc \( y = -1 \), kết quả là cặp nghiệm \( (-1, 1) \) và \( (-1, -1) \).

Tóm lại, các cặp số nguyên \( (x, y) \) thoả mãn phương trình đã cho là:

\[
\{ (1, y) \mid y \in \mathbb{Z} \} \cup \{ (-1, 1), (-1, -1) \}.
\]