Để giải bài toán về tam giác ABC vuông tại A với tia phân giác BD, chúng ta sẽ làm theo từng yêu cầu như sau:

### 1. Chứng minh tam giác BAP = tam giác BKD

- Ta có tam giác ABC vuông tại A.
- Chọn D thuộc AC sao cho BD là tia phân giác của góc ABC. Theo tính chất của tia phân giác, ta có:

\[
\frac{AB}{BC} = \frac{AD}{DC}
\]

- Xét tam giác BAP và tam giác BDK:
- Cả hai tam giác đều có chung cạnh BA.
- Góc BAP = góc BDK (do BD là tia phân giác của góc ABC)
- Góc ABP = góc BDK (cùng nằm phía bên của BD)

Với các yếu tố trên, theo tiêu chuẩn tương đương của hai tam giác, ta có:

\[
\Delta BAP \cong \Delta BDK
\]

### 2. Chứng minh DA = DK

- Dựa vào tam giác BAP và BDK đã được chứng minh tương đương ở phần trước.
- Từ tính chất của hai tam giác tương đương này, chúng ta có:

\[
AB = BK \quad \text{và} \quad AP = DK
\]

- Điều này có nghĩa là nếu cạnh đối diện tại góc B là tương đương nhau, tức là có tỷ lệ tương đương giữa DA và DK.
- Hơn nữa, AD = dk bởi vì đây là phần dài cùng kích thước trên đoạn thẳng mà không có sự thay đổi về phương hướng hay tỷ lệ.

### 3. Gọi I là giao điểm của BD và AK, chứng minh tam giác BAI = tam giác BKI

- Ta gọi I là giao điểm của BD và AK.
- Xét hai tam giác BAI và BKI:

- Chúng có chung cạnh BI.
- Cạnh AB = BK (do AD = DK từ phần trước).
- Góc BAI = góc BKI (bởi vì cùng nằm trên đường phân giác BD).

Do có những yếu tố như vậy, theo tiêu chuẩn tam giác tương đương, ta có:

\[
\Delta BAI \cong \Delta BKI
\]

### Kết luận

Như vậy, chúng ta đã chứng minh thành công các yêu cầu của bài toán:

1. \(\Delta BAP = \Delta BDK\)
2. \(DA = DK\)
3. \(\Delta BAI = \Delta BKI\)

Hy vọng rằng những giải thích này rõ ràng và có thể giúp bạn hiểu các khái niệm và mối quan hệ trong tam giác.