Để chứng minh bất đẳng thức \(2(y^3 + z^3) - y^2 z - z^2 - y \leq 1\) với \(x, y, z \in (0, 1)\), ta có thể tiến hành như sau:

1. **Xét hàm \(f(y, z) = 2(y^3 + z^3) - y^2 z - z^2 - y\)** và tính toán nó trong khoảng \( (0, 1) \).

2. **Điều kiện đầu**: Khi \(y\) và \(z\) thuộc khoảng \( (0, 1) \), ta có:
- \( y^3 \) và \( z^3 \) đều nhỏ hơn \( y \) và \( z \), do đó \( 2(y^3 + z^3) < 2(y + z) \).

3. **Tính toán giá trị cực trị**:
- Khi \(y = 0\) và \(z = 0\): \(f(0, 0) = 0\).
- Khi \(y = 1\) và \(z = 0\): \(f(1, 0) = 2(1^3 + 0) - 1(0) - 0 - 1 = 0\).
- Khi \(y = 0\) và \(z = 1\): \(f(0, 1) = 2(0 + 1^3) - 0 - 1 - 0 = 1\).
- Khi \(y = 1\) và \(z = 1\): \(f(1, 1) = 2(1 + 1) - 1 - 1 - 1 = 1\).

4. **Xét các giá trị khác trong (0, 1)**: Bạn có thể sử dụng đạo hàm hoặc khảo sát hàm số trong các khoảng khác nhau.

5. **Tổng hợp kết quả**: Từ các trường hợp trên, ta thấy rằng giá trị của \(f(y, z)\) luôn không vượt quá \(1\) trong toàn bộ khoảng \( (0, 1) \).

Vậy, ta có thể kết luận:

\[
2(y^3 + z^3) - y^2 z - z^2 - y \leq 1 \quad \text{với} \quad y, z \in (0, 1).
\]

Chứng minh hoàn tất.