Cho tam giác ABC nhọn; vẽ về phía ngoài tam giác ABC các tam giác vuông cân tại A là tam giác ABD và tam giác ACE. a, Chứng minh DC = BE và DC vuông góc với BE

Để giải bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện từng phần một.

### Phần a: Chứng minh \(DC = BE\) và \(DC \perp BE\)

1. **Xác định các điểm**:
- Vì tam giác \(ABD\) là tam giác vuông cân tại \(A\), nên \(AB = AD\), và góc \(BAD = 90^\circ\).
- Tương tự, vì tam giác \(ACE\) cũng là tam giác vuông cân tại \(A\), nên \(AC = AE\), và góc \(CAE = 90^\circ\).

2. **Cấu trúc hình học**:
- Gọi \(D\) và \(E\) lần lượt là các điểm thuộc cạnh \(AB\) và \(AC\), mà \(D\) là điểm trên \(AB\) và \(E\) là điểm trên \(AC\).
- Vẽ đường thẳng \(BE\) và \(DC\).

3. **Chứng minh**:
- Ta nhận thấy rằng, trong hình vẽ, tam giác \(ABD\) và tam giác \(ACE\) có \(A\) chung; và do tính chất của tam giác vuông cân thì các đoạn \(AD\) và \(AE\) đều bằng nhau và tạo thành các đường vuông góc với \(BC\).
- Do đó, thấy rằng:
\[
BE = BC \quad \text{(bởi vì nó là đoạn thẳng nối hai điểm thuộc cạnh đối diện)}
\]
- Tương tự, ta có:
\[
DC = BC \quad \text{(từ tính chất hình học)}
\]
- Dễ dàng thấy rằng, \(BE\) và \(DC\) là hai cạnh của tam giác \(BEC\) và \(DCA\), cũng như vừa nói chúng là cùng một cạnh \(BC\). Do đó, \(DC = BE\).

4. **Về tính vuông góc**:
- \(DC\) vuông góc với \(BE\) vì tam giác vuông \(ABD\) và tam giác vuông \(ACE\) đã tạo ra hai đường vuông góc từ hai điểm \(B\) và \(E\) xuống đường thẳng \(AC\).
- Như vậy, \(DC \perp BE\).

### Phần b: Chứng minh \(A, M, H\) thẳng hàng

1. **Gọi \(M\)** là trung điểm của cạnh \(BC\):
- Do đó, \(BM = MC\) và đoạn thẳng \(AM\) là phân giác của tam giác \(ABC\).

2. **Xác định điểm \(H\)**:
- \(H\) là chân đường vuông góc kẻ từ \(A\) đến \(DE\).
- \(E\) và \(D\) là hai đầu của đoạn thẳng nằm trên các đường thẳng vuông góc từ \(A\).

3. **Chứng minh**:
- Ta có tam giác vuông \(ABD\) và \(ACE\):
- Điểm \(H\) sẽ là giao điểm của đoạn thẳng \(AM\) và đoạn thẳng \(DE\).
- Vì \(D\) và \(E\) nằm trên cạnh \(AB\) và \(AC\), và \(AM\) là đường trung bình, đường trung trực của cạnh \(BC\), nên \(M\) sẽ nằm trên đường thẳng kéo dài từ \(H\), đồng nghĩa với việc \(A, M, H\) sẽ nằm thẳng hàng.

**Kết luận**:
Do đó ta đã chứng minh được \(DC = BE\), \(DC \perp BE\) và \(A, M, H\) thẳng hàng.