Rút gọn B

Để rút gọn biểu thức \( B \), ta sẽ bắt đầu phân tích cả tử và mẫu.

### Tử của biểu thức

**Tử** là một dãy số:

\[
92 - \frac{1}{9} - \frac{2}{10} - \frac{3}{11} - \ldots - \frac{92}{100}
\]

Ta có thể viết lại dãy số này thành tổng:

\[
92 - \sum_{n=9}^{100} \frac{n-8}{n}
\]

Cụ thể, tổng trên có thể tính như sau:

\[
\sum_{n=9}^{100} \frac{n-8}{n} = \sum_{n=9}^{100} \left(1 - \frac{8}{n}\right) = \sum_{n=9}^{100} 1 - 8 \sum_{n=9}^{100} \frac{1}{n}
\]

Số hạng \( \sum_{n=9}^{100} 1 \) tính là \( 100 - 9 + 1 = 92 \).

Tổng \( \sum_{n=9}^{100} \frac{1}{n} \) được giữ nguyên ở dạng tổng.

Do đó,

\[
\sum_{n=9}^{100} \frac{n-8}{n} = 92 - 8 \sum_{n=9}^{100} \frac{1}{n}
\]

Vậy, tử trở thành:

\[
92 - (92 - 8 \sum_{n=9}^{100} \frac{1}{n}) = 8 \sum_{n=9}^{100} \frac{1}{n}
\]

### Mẫu của biểu thức

**Mẫu** là tổng:

\[
\frac{1}{45} + \frac{1}{50} + \frac{1}{55} + \ldots + \frac{1}{500}
\]

Dãy này có thể diễn đạt dưới dạng tổng có công sai:

Mẫu là:

\[
\sum_{k=45}^{500} \frac{1}{5k} = \frac{1}{5} \sum_{k=45}^{500} \frac{1}{k}
\]

### Kết hợp lại

Vậy lúc này, ta có:

\[
B = \frac{8 \sum_{n=9}^{100} \frac{1}{n}}{\frac{1}{5} \sum_{k=45}^{500} \frac{1}{k}} = 40 \cdot \frac{\sum_{n=9}^{100} \frac{1}{n}}{\sum_{k=45}^{500} \frac{1}{k}}
\]

### Kết luận

Dễ dàng thấy rằng biểu thức \( B \) được rút gọn thành:

\[
B = 40 \cdot \frac{\sum_{n=9}^{100} \frac{1}{n}}{\sum_{k=45}^{500} \frac{1}{k}}
\]

Quá trình trên cho phép ta sử dụng tổng các số hạng để có được kết quả cuối cùng.