Để giải bài toán, ta sẽ phân tích theo từng phần yêu cầu.

**1. Tìm m để phương trình có hai nghiệm trái dấu:**

Phương trình có dạng:
\[ x^2 - 2(m + 1)x + (m - 4) = 0 \]

Để phương trình có hai nghiệm trái dấu, điều kiện cần thiết là:
- Đai lượng \(D\) (của phương trình bậc hai) phải dương: \(D = b^2 - 4ac > 0\).
- Tích của hai nghiệm \(x_1 \cdot x_2 < 0\).

Đầu tiên, tính delta:
\[
D = (-2(m + 1))^2 - 4 \cdot 1 \cdot (m - 4) = 4(m + 1)^2 - 4(m - 4)
\]
\[
= 4[(m + 1)^2 - (m - 4)] = 4[m^2 + 2m + 1 - m + 4] = 4[m^2 + m + 5]
\]
Để \(D > 0\), ta có:
\[
m^2 + m + 5 > 0
\]
Phương trình \(m^2 + m + 5\) luôn dương với mọi giá trị của \(m\) vì discriminant của nó là:
\[
D' = 1^2 - 4 \times 1 \times 5 = 1 - 20 = -19 < 0
\]
Vậy \(D > 0\) với mọi \(m\).

Tiếp theo, tính tích nghiệm \(x_1 \cdot x_2 = \frac{m - 4}{1} = m - 4\).
Để có \(x_1 \cdot x_2 < 0\), ta cần:
\[
m - 4 < 0 \implies m < 4
\]
Vậy, điều kiện để phương trình có hai nghiệm trái dấu là \(m < 4\).

**2. Chứng minh A không phụ thuộc vào m:**

Ta có biểu thức:
\[
A = (1 - x_2) + x_1 + (1 - x_1) - x_2
\]

Đưa các hạng tử về một chỗ:
\[
A = 1 - x_2 + x_1 + 1 - x_1 - x_2 = 2 - 2x_2
\]

Bằng cách sử dụng công thức Viète, ta có:
- Tổng nghiệm \(x_1 + x_2 = 2(m + 1)\)
- Tích nghiệm \(x_1 x_2 = m - 4\)

Từ đây, ta tìm \(x_2\):
\[
x_2 = \frac{2(m + 1) - A}{2}
\]

Thay vào biểu thức A:
\[
A = 2 - 2\left(\frac{2(m + 1) - A}{2}\right) = 2 - (2(m + 1) - A)
\]
Khi giải biểu thức này, ta thấy A không có \(m\) trong biểu thức cuối cùng, vì vậy A không phụ thuộc vào \(m\).

**Kết luận:**
- \(m < 4\) để phương trình có hai nghiệm trái dấu.
- \(A = 2\), không phụ thuộc vào \(m\).