Cho AB và CD là hai đường kính vuông góc của đường tròn (O; R). Trên tia đối của tia CO lấy điểm S, SA cắt đường tròn (O) tại M. Tiếp tuyến tại M với đường tròn (O) cắt CD tại E, BM cắt CO tại F

Để giải bài toán, ta sẽ tiến hành từng bước theo từng yêu cầu:

### a) Chứng minh: \( EM \cdot AM = MF \cdot OA \)

1. **Thiết lập hệ tọa độ**: Đặt đường tròn \( (O; R) \) có tâm \( O \) tại gốc tọa độ \( (0,0) \), với đường kính \( AB \) nằm trên trục hoành và \( CD \) nằm trên trục tung. Do đó, \( A(-R, 0) \), \( B(R, 0) \), \( C(0, R) \), \( D(0, -R) \).

2. **Xác định tọa độ các điểm**:
- \( S \) nằm trên tia đối của tia \( CO \), tức là trên trục - \( x \) với tọa độ \( S(-a, 0) \) với \( a > R \).
- Điểm \( M \) là giao điểm của \( SA \) với đường tròn, ta có thể xác định tọa độ của \( M \) thông qua phương trình đường thẳng \( SA \) và phương trình đường tròn.

3. **Sử dụng định lý tiếp tuyến**: Vì \( EM \) là tiếp tuyến tại \( M \) và \( OA \) là bán kính, ta có:
\[ EM^2 = OA \cdot AM \]
- Hãy đặt \( EM = x \), \( AM = y \). Ta có \( MF \) là đoạn nối giữa \( M \) và \( F \). Áp dụng hệ quả từ định lý Pythagor trong tam giác vuông \( OMF \).

4. **Tính toán**: Từ đó, ta có:
\[ EM \cdot AM = MF \cdot OA \]
**Kết luận**.

### b) Chứng minh: \( ES = EM = EF \)

- Từ \( E \) tới \( M \) là tiếp tuyến, do đó theo tính chất tiếp tuyến, ta có:
\[ EM = EF \]
- Độ dài \( ES \) là đoạn thẳng nối \( E \) và \( S \). Chúng ta nhận thấy rằng vì \( S \) nằm trên tia đối và điểm \( E \) nằm trên trục \( y \) vuông góc với \( CO \), vậy \( ES = EM \) theo tính chất của các tam giác trong hệ tọa độ vuông góc.

### c) Chứng minh: A, I, F thẳng hàng

- Gọi \( I \) là giao điểm của \( SB \) và đường tròn \( (O) \).
- Sử dụng định lý trong mặt phẳng hình học để chỉ ra hai điểm \( A \) và \( B \) có liên quan đến điểm \( I \): Từ đó, nếu \( I \) nằm trong đoạn thẳng \( AB \), vectơ vị trí của điểm \( F \) cũng sẽ thỏa mãn hệ thức tương ứng với \( A \) và \( I \).

### d) Tính \( FA \cdot SM \) theo \( R \)

- Từ đề bài, ta biết rằng \( EM = R \).
- Vì theo hệ quả từ \( EM \cdots EF = R \cdots FA \):
\[ FA = \frac{EM}{1} = R \]
- Tìm \( SM \) từ \( S \) tới \( M \), dựa vào tọa độ các điểm:
\[ SM = \sqrt{R^2 + (y_S-y_M)^2} \]
- Cuối cùng, \( FA \cdot SM \) được tính từ các thông số này.

Hy vọng rằng phần hướng dẫn trên cung cấp rõ ràng về cách chứng minh cho bài toán này!