Ta sẽ chứng minh từng phần của bài toán như sau:

### a) Chứng minh tam giác MNP = tam giác MPI.

1. **Cho tam giác MNP có MN = MP**: Đây là giả thiết.

2. **I là trung điểm của NP**: Điều này có nghĩa là:
- NI = IP.

3. **Giả sử có hai tam giác MNP và MPI**:
- **Đỉnh M** là chung cho cả hai tam giác MNP và MPI.
- **Cạnh MN và MP** đã cho là bằng nhau: \( MN = MP \).
- **Cạnh NI = IP** (do I là trung điểm của NP).

Từ đó, ta có:
- \( M = M \) (cạnh chung),
- \( MN = MP \),
- \( NI = IP \).

Như vậy, theo tiêu chí cạnh-cạnh-cạnh (CCC), ta có vị trí tương ứng (M - M, N - P, I - I), nên ta có:
\[ \triangle MNP \cong \triangle MPI. \]

### b) Kẻ IK vuông góc với MN (K thuộc MN) và IH vuông góc với MP (H thuộc MP). Chứng minh tam giác MKI = tam giác MHI.

1. **Kẻ IK vuông góc với MN** và **IH vuông góc với MP**:
- Do tính chất vuông góc, ta có:
- \( \angle MIK = 90^\circ \) và \( \angle MIH = 90^\circ \).

2. **Xét tam giác MKI và tam giác MHI**:
- **Cạnh MK** và **cạnh MH** là đường vuông góc nên:
- \( MI \) là cạnh chung.
- \( IK \) vuông góc với \( MN \).
- \( IH \) vuông góc với \( MP \).

3. **Tam giác MKI và MHI có**:
- \( \angle MIK = \angle MIH = 90^\circ \),
- \( MI \) là cạnh chung,
- \( MK = MH \) (bởi vì K và H nằm trên dân của hai tam giác vuông có cạnh chung M).

Do đó, theo tiêu chí cạnh-góc-cạnh (CGC), ta có:
\[ \triangle MKI \cong \triangle MHI. \]

### c) Gọi E là trung điểm của HK. Chứng minh M, E, I thẳng hàng.

1. **Gọi E là trung điểm của HK**:
- Suy ra \( HE = EK \).

2. **Chứng minh M, E, I thẳng hàng**:
- Ta đã có \( MI \) là đoạn vuông góc từ M xuống cạnh NP.
- Tam giác MKI và tam giác MHI đều có độ dài tương ứng hồ sơ được xác định là bằng nhau.
- Do vậy, điểm I sẽ nằm trên đoạn thẳng ME.

Vì E là trung điểm của HK và I là điểm trên đoạn nối I và N (và cũng trên đường vuông góc) nên \( M, E, I \) là thẳng hàng.

Tóm lại, ta đã chứng minh được các phần a), b), c) của bài toán.