Chúng ta cần tìm số nguyên \( n \) sao cho \( 5n + 1 \) chia hết cho \( 2n - 3 \).

Điều này đồng nghĩa với việc tồn tại một số nguyên \( k \) sao cho:

\[
5n + 1 = k(2n - 3)
\]

Chúng ta sẽ phát triển phương trình này:

\[
5n + 1 = 2kn - 3k
\]

Sắp xếp lại, ta có:

\[
5n - 2kn = -3k - 1
\]

\[
n(5 - 2k) = -3k - 1
\]

Vậy:

\[
n = \frac{-3k - 1}{5 - 2k}
\]

Để \( n \) là một số nguyên, mẫu \( 5 - 2k \) phải khác 0, điều này có nghĩa là \( k \neq \frac{5}{2} \).

Bây giờ ta cần \( -3k - 1 \) phải chia hết cho \( 5 - 2k \). Để làm điều này, ta có thể thử một số giá trị nguyên cho \( k \) nhằm tìm ra giá trị \( n \).

**1. Thử với \( k = 0 \):**

\[
n = \frac{-3(0) - 1}{5 - 2(0)} = \frac{-1}{5} \quad (\text{không phải nguyên})
\]

**2. Thử với \( k = 1 \):**

\[
n = \frac{-3(1) - 1}{5 - 2(1)} = \frac{-3 - 1}{5 - 2} = \frac{-4}{3} \quad (\text{không phải nguyên})
\]

**3. Thử với \( k = 2 \):**

\[
n = \frac{-3(2) - 1}{5 - 2(2)} = \frac{-6 - 1}{5 - 4} = \frac{-7}{1} = -7 \quad (\text{là nguyên})
\]

**4. Thử với \( k = 3 \):**

\[
n = \frac{-3(3) - 1}{5 - 2(3)} = \frac{-9 - 1}{5 - 6} = \frac{-10}{-1} = 10 \quad (\text{là nguyên})
\]

Bây giờ ta có hai giá trị nguyên cho \( n \): \( n = -7 \) và \( n = 10 \).

Chúng ta sẽ kiểm tra các giá trị này:

1. Khi \( n = -7 \):
- \( 5n + 1 = 5(-7) + 1 = -35 + 1 = -34 \)
- \( 2n - 3 = 2(-7) - 3 = -14 - 3 = -17 \)
- \( -34 \) chia hết cho \( -17 \).

2. Khi \( n = 10 \):
- \( 5n + 1 = 5(10) + 1 = 50 + 1 = 51 \)
- \( 2n - 3 = 2(10) - 3 = 20 - 3 = 17 \)
- \( 51 \) chia hết cho \( 17 \).

Do đó, các giá trị nguyên \( n \) thỏa mãn yêu cầu là:

\[
n = -7 \quad \text{hoặc} \quad n = 10
\]