Để giải bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện theo hai phần mà đề bài yêu cầu.

### a) Viết biểu thức tính diện tích S của đường bao quanh mảnh vườn theo x và y

1. **Diện tích mảnh vườn:** Mảnh vườn là hình vuông có cạnh dài x, vì vậy diện tích của mảnh vườn sẽ là:
\[
S_{\text{vườn}} = x^2
\]

2. **Kích thước của khu vực bao quanh:** Khi làm đường đi xung quanh mảnh vườn rộng y mét, chiều dài cạnh của khu vực bao quanh sẽ là:
\[
x + 2y
\]
(Hai bên cạnh của vuông vườn sẽ tăng thêm y mét).

3. **Diện tích khu vực bao quanh (bao gồm cả mảnh vườn):** Vì khu vực bao quanh là một hình vuông mới với cạnh dài x + 2y, nên diện tích sẽ là:
\[
S_{\text{bao quanh}} = (x + 2y)^2
\]

4. **Diện tích của đường đi (chỉ tính đường đi):** Diện tích của đường đi S sẽ bằng diện tích khu vực bao quanh trừ đi diện tích mảnh vườn:
\[
S = S_{\text{bao quanh}} - S_{\text{vườn}} = (x + 2y)^2 - x^2
\]

5. **Rút gọn biểu thức S:**
\[
S = (x + 2y)^2 - x^2 = (x^2 + 4xy + 4y^2) - x^2 = 4xy + 4y^2
\]

Vậy biểu thức tính diện tích S của đường ba quanh mảnh vườn theo x và y là:
\[
S = 4xy + 4y^2
\]

### b) Phân tích S thành nhân tử rồi tính A khi x = 102 m, y = 2 m

1. **Phân tích biểu thức S:**
Ta có:
\[
S = 4y(x + y)
\]
(đây là kết quả của việc rút gọn 4xy + 4y^2).

2. **Tính S với x = 102 m và y = 2 m:**
Thay x và y vào biểu thức S:
\[
S = 4 \cdot 2 \cdot (102 + 2) = 8 \cdot 104 = 832
\]

Vậy, diện tích S của đường đi khi x = 102 m và y = 2 m là:
\[
S = 832 \text{ m}^2
\]