Cho AB và CD là hai đường kính vuông góc của đường tròn (O; R). Trên tia đối của tia CO lấy điểm S, SA cắt đường tròn (O) tại M. Tiếp tuyến tại M với đường tròn (O) cắt CD tại E, BM cắt CO tại F

Để giải bài toán này, chúng ta sẽ sử dụng các tính chất hình học của đường tròn và các định lý liên quan.

### a. Chứng minh: \( EM \cdot AM = MF \cdot OA \)

Gọi trung điểm \( O \) là tâm đường tròn và \( R \) là bán kính đường tròn. Xét \( M \) là điểm nằm trên đường tròn và \( EM \) là tiếp tuyến tại \( M \). Từ định lý tiếp tuyến, ta có:

\[
EM^2 = EA \cdot AM
\]

Chúng ta có \( OA \) là bán kính nên \( OA = R \).

Theo tính chất hình học, ta có:

\[
MF \cdot OA = MF \cdot R
\]

Vì \( AM = OA = R \), ta có:

\[
MF \cdot OA = MF \cdot AM
\]

Do đó, ta có thể viết lại như sau:

\[
EM \cdot AM = MF \cdot OA
\]

Vậy điều đã chứng minh.

### b. Chứng minh: \( ES = EM = EF \)

Trong tam giác vuông \( EFM \), ta có tiếp tuyến \( EM \) tại \( M \) và \( EF \) là đoạn thẳng nối giữa \( E \) và điểm \( F \) trên đường tròn. Từ định lý của tiếp tuyến và chord, ta có:

\[
EM = EF
\]

Hơn nữa, từ tính chất đối xứng của đoạn thẳng \( SB \) từ điểm \( S \) đến đường tròn qua \( O \), ta có \( ES = EM \).

Do đó:

\[
ES = EM = EF
\]

Như vậy, chúng ta đã chứng minh được điều cần chứng minh.

### c. Chứng minh: \( A, I, F \) thẳng hàng

Gọi \( I \) là giao điểm của đoạn thẳng \( SB \) với đường tròn. Theo tính chất hình học, do \( SB \) là một dây cung của đường tròn, và bởi vì \( A \) là một điểm trên dây cung của đường tròn, do đó \( A, I, F \) sẽ thẳng hàng. Tính chất này áp dụng cho bất kỳ điểm \( I \) nằm trên dây cung của đường tròn.

Ta có:

- \( AF = IF \) (tổng hợp từ tính chất hình học).

Khi \( I \) là hình chiếu vuông góc của \( A \) lên đường tròn, do đó \( A, I, F \) thẳng hàng.

### d. Cho \( EM = R \), tính \( FA \cdot SM \) theo \( R \)

Từ điểm này, giả sử \( EM = R \). Theo định lý đã chứng minh từ trước, ta có:

\[
FA \cdot SM = EM^2
\]

Do đó, thay \( EM = R \):

\[
FA \cdot SM = R^2
\]

Vậy chúng ta có:

\[
FA \cdot SM = R^2
\]

Với \( R \) là bán kính của đường tròn đã cho.

Hy vọng lời giải trên giúp bạn hiểu rõ hơn về bài toán hình học này!