Để giải bài toán này, ta sẽ lần lượt thực hiện theo từng phần đã nêu.

### a) Chứng minh 4 điểm AEHF, BFEC nằm trên một đường tròn.

1. **Cấu trúc tam giác**: Gọi \( O \) là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác \( ABC \), \( AD, BE, CF \) là các đường cao, giao điểm của chúng là \( H \).
2. **Điểm A - đường cao AD**: Xem \( AE, AF \) lần lượt là chân đường cao từ \( A \) đến \( BC \) và từ \( A \) đến \( EC \).
3. **Hệ thức 90 độ**: Gọi \( E, F \) là chân đường vuông góc từ \( B \) và \( C \) đến \( AC \).
4. **Đại lượng đồng dạng**: Xem xét các tam giác vuông tạo ra từ các đường cao và cạnh tương ứng, có thể sử dụng Sine Rule hoặc Cyclic Quadrilateral.
5. **Chứng minh**: Sử dụng định lý Ptolemy hoặc tính chất đồng dạng của các tam giác để cho thấy \( AEHF \) và \( BFEC \) tạo thành hai tứ giác có tính chất những điểm trên vòng tròn.

### b) Chứng minh điểm \( I \) là trung điểm của đoạn thẳng \( BC \).

1. **Tính chất của giao điểm đường tròn**: Xem xét đường thẳng \( AH \) cắt \( O \) tại \( K \).
2. **Ký hiệu giao điểm**: Đặt \( I \) là giao điểm của đường thẳng \( HK \) với \( BC \).
3. **Gán trọng số**: Sử dụng công thức trọng số trên các điểm \( B \) và \( C \) để chỉ ra rằng \( I \) chia đoạn \( BC \) thành hai đoạn bằng nhau.


### c) Tính \( \frac{AH}{AD} + \frac{BH}{BE} + \frac{CH}{CF} \).

1. **Tỷ lệ độ dài**: Sử dụng tính chất hình học trong tam giác vuông tạo từ các đường cao.
2. **Chứng minh cạnh**: Lý thuyết xác định hình học cho việc tính tỷ lệ \( \frac{AH}{AD} \), \( \frac{BH}{BE} \), và \( \frac{CH}{CF} \).
3. **Cộng lại**: Sau cùng, cộng các giá trị tỷ lệ này lại với nhau để được kết quả cuối cùng.

### Kết luận

Hãy xác định, kết nối các điểm và sử dụng lý thuyết tam giác, tứ giác và đường tròn để hoàn thành các phần chứng minh nêu trên.