### Bài 1: Chứng minh -√10 <= a + b <= √10

Xét phương trình \( a^2 + 9b^2 = 9 \). Đây là phương trình của một elip với trục chính là trục \( a \) và trục phụ là trục \( b \).

Chúng ta có thể viết lại phương trình này theo dạng chuẩn của elip:
\[
\frac{a^2}{9} + \frac{b^2}{1} = 1
\]
Điều này cho thấy rằng elip này có trục lớn là 3 (trên trục \( a \)) và trục nhỏ là 1 (trên trục \( b \)), tức là elip nằm trong hình chữ nhật với các đỉnh tại các điểm:
\[
(±3, 0) \quad \text{và} \quad (0, ±1)
\]

Xét giá trị biểu thức \( a + b \):
Giả sử \( a + b = c \). Chúng ta sẽ tìm bất đẳng thức liên quan đến \( c \) thông qua phương trình đã cho.

Sử dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz:
\[
(a+b)^2 \leq (1^2 + 1^2)(a^2 + b^2) = 2(a^2 + b^2)
\]
Từ \( a^2 + 9b^2 = 9 \), ta có:
\[
b^2 = \frac{9 - a^2}{9}
\]
Thay vào biểu thức \( a^2 + b^2 \):
\[
b^2 = \frac{9 - a^2}{9}
\]
Chúng ta tính \( a^2 + b^2 \):
\[
a^2 + b^2 = a^2 + \frac{9 - a^2}{9} = \frac{9a^2 + 9 - a^2}{9} = \frac{8a^2 + 9}{9}
\]
Do đó,
\[
(a+b)^2 \leq 2 \cdot \frac{8a^2 + 9}{9}
\]

Để cận trên, ta cần biến đổi \( a + b \):
\[
(a+b)^2 \leq \frac{2(8a^2 + 9)}{9}
\]

Xét cực trị bằng biến đổi phương pháp tham số với bán kính chuẩn:
\[
a = 3\cos(t), \quad b = \sin(t)
\]
Suy ra:
\[
a + b = 3 \cos(t) + \sin(t)
\]

Tìm cực trị của \( P = 3\cos(t) + \sin(t) \):
\[
P = 3\cos(t) + \sin(t) = R\cos(t - \phi)
\]
với \( R = \sqrt{3^2 + 1^2} = \sqrt{10} \) và \(\phi = \tan^{-1}(1/3)\).

Vậy:
\[
- \sqrt{10} \leq 3\cos(t) + \sin(t) \leq \sqrt{10}
\]
Chứng minh hoàn tất.

### Bài 2: Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của \( P = |\sqrt{a - 1} + \sqrt{3 - a}| \)

Với \( 1 \leq a \leq 3 \), chúng ta có thể viết lại biểu thức P:
\[
P = |x_1 + x_2| \quad \text{với} \quad x_1 = \sqrt{a - 1}, \quad x_2 = \sqrt{3 - a}
\]

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz cho \( x_1 + x_2 \):
\[
(x_1+x_2)^2 \leq (1^2 + 1^2)((\sqrt{a-1})^2 + (\sqrt{3-a})^2)
\]
Suy ra:
\[
(x_1+x_2)^2 \leq 2 \left( (a-1) + (3-a) \right) = 2(2) = 4
\]

Do đó:
\[
|x_1 + x_2| \leq 2
\]

Tìm giá trị cực tiểu:
- Tại điểm \( a = 1 \):
\[
P = |\sqrt{1 - 1} + \sqrt{3 - 1}| = |0 + \sqrt{2}| = \sqrt{2}
\]
- Tại điểm \( a = 3 \):
\[
P = |\sqrt{3 - 1} + \sqrt{3 - 3}| = |\sqrt{2} + 0| = \sqrt{2}
\]
- Tại điểm \( a = 2 \):
\[
P = |\sqrt{2 - 1} + \sqrt{3 - 2}| = |1 + 1| = 2
\]

Vậy giá trị lớn nhất là \( 2 \) và giá trị nhỏ nhất là \( \sqrt{2} \).

Kết luận:
- Giá trị lớn nhất của \( P \) là \( 2 \).
- Giá trị nhỏ nhất của \( P \) là \( \sqrt{2} \).