Để giải bài toán trên, chúng ta cần tìm giá trị của biểu thức \( M = \sqrt{2025 - x - y + \frac{z^2}{2023}} \) với điều kiện \( z^2 = x^3 + y^3 = 3axy + z \).

1. **Phân tích điều kiện**:
- Từ phương trình \( z^2 = x^3 + y^3 \), ta có:
\[
z^2 = x^3 + y^3
\]
- Từ phương trình \( z^2 = 3axy + z \), ta có:
\[
z^2 - z = 3axy
\]

2. **Tìm mối quan hệ giữa \( x, y, z \)**:
- Thay \( z^2 \) từ phương trình đầu tiên vào phương trình thứ hai, ta có:
\[
x^3 + y^3 - z = 3axy
\]

3. **Đặt các giá trị cụ thể cho \( x, y, z \)**:
- Nếu đặt \( x = y \), thì \( z^2 = 2x^3 \) và \( 3axx + z = 3ax^2 + z \).

4. **Giải với \( x = y = k \)**:
- Từ \( z^2 = 2k^3 \), ta có \( z = \sqrt{2} k^{3/2} \). Cần tìm giá trị của \( M \) theo \( k \).

5. **Giá trị của \( M \)**:
- Thay \( z \) vào biểu thức \( M \):
\[
M = \sqrt{2025 - k - k + \frac{2k^3}{2023}} = \sqrt{2025 - 2k + \frac{2k^3}{2023}}
\]

6. **Tìm giá trị lớn nhất của \( M \)**:
- Sử dụng các phương pháp tối ưu hóa hoặc tìm giá trị giới hạn phù hợp, tính giá trị \( k \) sao cho \( M \) đạt giá trị lớn nhất.

Sau bước phân tích, hãy thử các giá trị \( k \) nhỏ để kiểm soát xem giá trị biểu thức \( M \) có thể đạt giá trị tối đa hay không.

Cuối cùng, một phương pháp tiếp cận vi phân hoặc sử dụng hình học để tìm giá trị \( x, y, z \) sẽ giúp xác định giá trị cuối cùng cho \( M \).