Cho hình thang ABCD vuông tại A và B, biết AD = a, BC = 2a và cạnh AB = a. Khi đó:

Để giải bài toán hình thang vuông tại A và B với các thông số cho trước, ta có thể tính toán như sau:

1. **Xác định các điểm vị trí**:
- Giả sử \( A(0, 0) \), \( B(a, 0) \), \( D(0, a) \), và \( C(a, 2a) \).

2. **Tính độ dài các cạnh**:
- \( AB = a \)
- \( AD = a \)
- \( BC = 2a \)

3. **Tính chiều dài \( AC \) và \( BD \)**:
- Sử dụng định lý Pytago:
\[
AC = \sqrt{(a - 0)^2 + (2a - 0)^2} = \sqrt{a^2 + 4a^2} = \sqrt{5a^2} = a\sqrt{5}
\]
- Tương tự, \( BD \):
\[
BD = \sqrt{(a - 0)^2 + (0 - a)^2} = \sqrt{a^2 + a^2} = \sqrt{2a^2} = a\sqrt{2}
\]

4. **Xác định trung điểm**:
- Trung điểm \( I \) của \( AB \): \( I\left(\frac{a}{2}, 0\right) \)
- Trung điểm \( J \) của \( CD \): \( J\left(\frac{a}{2}, a\right) \)

5. **Tính khoảng cách giữa \( AC \) và \( IJ \)**:
- Khoảng cách \( IJ = J_y - I_y = a - 0 = a \)

6. **Điều kiện được nêu**:
\[
AC - IJ = a\sqrt{5} - a = a(\sqrt{5} - 1)
\]

Từ các phân tích trên, ta có thể xác định các đáp án đúng cho các câu hỏi a), b), c), d):
- a) \( AB - BD = a - a\sqrt{2} \Rightarrow \) Không đúng.
- b) \( AB - BD = a^2 \Rightarrow \) Không đúng.
- c) \( BC - BD = 2a - a\sqrt{2} \Rightarrow \) Không đúng.
- d) \( AC - BD = a^2 = (a\sqrt{5} - a\sqrt{2})^2 \) là điều đúng.

Chọn đáp án phù hợp với các điều kiện trên.