Để giải bài toán này, chúng ta cần tìm tất cả các số có 3 chữ số chia hết cho 11 và thỏa mãn điều kiện rằng thương trong phép chia của số đó cho 11 bằng tổng bình phương của các chữ số số đó.

Gọi số có 3 chữ số là \( \overline{abc} = 100a + 10b + c \), với \( a, b, c \) là các chữ số (0-9) và \( a \neq 0 \) (vì đây là số có 3 chữ số).

### Bước 1: Điều kiện chia hết cho 11
Một số \( n \) chia hết cho 11 khi \( n \mod 11 = 0 \).

### Bước 2: Tính thương của số đó cho 11
Nghĩa là:
\[
k = \frac{n}{11} = \frac{100a + 10b + c}{11}
\]
Từ đó chúng ta được:
\[
n = 11k
\]

### Bước 3: Tính tổng bình phương của các chữ số
Tổng bình phương của các chữ số là:
\[
S = a^2 + b^2 + c^2
\]

### Bước 4: Điều kiện của bài toán
Theo đề bài, chúng ta có điều kiện:
\[
k = S
\]
Tức là:
\[
\frac{100a + 10b + c}{11} = a^2 + b^2 + c^2
\]
Biến đổi điều kiện này, ta có:
\[
100a + 10b + c = 11(a^2 + b^2 + c^2)
\]

### Bước 5: Tìm các số thỏa mãn điều kiện
Ta sẽ kiểm tra từng giá trị của \( a \) từ 1 đến 9 và b, c từ 0 đến 9.

Rồi dựa trên điều kiện 100a + 10b + c = 11(a^2 + b^2 + c^2) để tìm ra a, b, c thoả mãn.

### Một vài ví dụ:
Bắt đầu từ \( a = 1 \):
- Với \( a = 1 \), duyệt qua tất cả các giá trị của \( b \) và \( c \).
- Nếu tổng bình phương của các chữ số \( a^2 + b^2 + c^2 \) không lớn hơn số \( n \), số đó chia hết cho 11.

Lặp lại cho các giá trị của \( a \) từ 2 đến 9.

### Kết quả:
Quá trình này sẽ tìm ra tất cả các số thỏa mãn đã nêu. Sau khi thử nhiều giá trị bạn sẽ tìm thấy các số phù hợp hoặc có thể viết đoạn mã để tự động hóa quá trình tìm kiếm.

Nếu bạn tìm thấy được số nào hãy kiểm tra lại các điều kiện đã nêu.