Chúng ta sẽ giải từng phần bài toán theo yêu cầu:

### a) Chứng minh \( ABMA = ABMN \)

Để chứng minh rằng diện tích của tứ giác \( ABMA \) bằng diện tích của tứ giác \( ABMN \), chúng ta có thể sử dụng công thức tính diện tích của tứ giác, hoặc dựa vào hình học tương đối của các cạnh.

1. **Hình vẽ**: Xét tứ giác \( ABMA \) với \( M \) nằm trên cạnh \( AC \) và \( N \) trên cạnh \( BC \).
2. **Phân tích tứ giác**:
- Tứ giác \( ABMA \) có 2 tam giác \( \triangle ABM \) và \( \triangle ABA \) (với \( A \) là điểm chung).
- Tứ giác \( ABMN \) có 2 tam giác \( \triangle ABM \) và \( \triangle ABN \) (với \( A \) là điểm chung).

3. **Chứng minh**:
- Cả 2 tứ giác đều có chung cạnh \( AB \) và chiều cao từ \( A \) đến cạnh \( BM \) và \( BN \) lần lượt là bằng nhau, vì \( B \) và \( M \) nằm trên cùng một đường thẳng với cùng một đường vuông góc từ \( A \).
- Do đó, diện tích \( ABMA = ABMN \).

### b) Chứng minh \( MA = MN \)

1. **Điều kiện**: Theo tính chất của tia phân giác, chúng ta có:
- \( \frac{AM}{MC} = \frac{AB}{BC} \).
- Vì \( N \) được lấy sao cho \( BA = BN \) và \( MA \) và \( MN \) đều là độ dài từ \( M \) tới các điểm \( A \), theo định nghĩa phân giác.

2. **Áp dụng định lý**: Từ định lý phân giác, ta có:
- \( MA = MN \) do đây là những đoạn thẳng được cắt bởi hai cạnh tương ứng với tỉ số bằng nhau.

### c) Chứng minh \( AH \parallel MN \)

1. **Chọn điểm H**: Kẻ đường cao \( AH \) từ điểm \( A \) xuống cạnh \( BC \), và gọi \( K \) là giao điểm của \( AH \) với \( BM \).
2. **Chứng minh song song**:
- Tại điểm \( M \):
- Tia phân giác \( BM \) chia góc \( ABX \) thành 2 phần.
- Do \( AH\) là đường vuông góc với \( BC \), và \( LM \) nằm trong hình vuông, nên hai đoạn thẳng \( AH \) và \( MN \) sẽ lệch nhau một góc \( 90^{\circ} \).

Do đó, \( AH \parallel MN \) vì đường thẳng song song của chúng là được thực hiện một cách đối xứng.

### d) Chứng minh \( AB = BD \) và \( CD = 1 \)

1. **Chọn điểm D**: Điểm \( D \) được chọn sao cho \( HA = HD \), tức là \( D\) nằm trên tia đối của \( HA \) và có cùng khoảng cách.
2. **Chứng minh**:
- Sử dụng định lý Pythagore:
- Từ \( HA = HD \) sẽ cho ta đường chéo BPM có cùng độ dài đều trong tứ giác và cũng đều từ nửa điểm \( A \) bẳng nhau, từ đó suy ra \( AB = BD \) và tạo nền một đường trên cạnh \( BC \).
- Đoạn CD sẽ bằng 1 do đoạn thẳng BC là bàn tay chung và mất 업데이트 chiều cao.

Chúc bạn thành công trong việc giải quyết bài toán! Nếu có bất cứ câu hỏi nào khác, hãy đặt ra nhé!