Để giải bài toán này, ta sẽ bắt đầu với phương trình đã cho và phân tích từng phần một.

### Phần a: Chứng minh phương trình có nghiệm với mọi \( m \)

Phương trình cho là:

\[
x^2 + x + (-(2(m - 1)) + (m - 3)) = 0
\]

Biến đổi lại ta có:

\[
x^2 + x + (m - 2m + 2 - 3) = 0
\]

hay:

\[
x^2 + x + (-m - 1) = 0
\]

Phương trình này có dạng tổng quát:

\[
ax^2 + bx + c = 0
\]

Trong đó:

- \( a = 1 \)
- \( b = 1 \)
- \( c = -m - 1 \)

Để phương trình có nghiệm thực, điều kiện cần là delta \( \Delta \) của phương trình phải không âm:

\[
\Delta = b^2 - 4ac = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-m - 1)
\]

Tính delta:

\[
\Delta = 1 + 4(m + 1) = 4m + 5
\]

Vì \( 4m + 5 \) luôn lớn hơn 0 với mọi \( m \) (bởi \( 4m + 5 \geq 5 > 0 \)), nên phương trình luôn có nghiệm thực với mọi giá trị của \( m \).

### Phần b: Tìm giá trị nhỏ nhất của \( p = x_1^2 + x_2^2 \)

Dựa vào công thức tổng và tích của các nghiệm, ta có:

\[
x_1 + x_2 = -\frac{b}{a} = -1,
\]

\[
x_1 x_2 = \frac{c}{a} = -m - 1.
\]

Sử dụng công thức \( x_1^2 + x_2^2 \):

\[
x_1^2 + x_2^2 = (x_1 + x_2)^2 - 2x_1 x_2.
\]

Thay các giá trị:

\[
x_1^2 + x_2^2 = (-1)^2 - 2(-m - 1) = 1 + 2(m + 1) = 2m + 3.
\]

Để tìm giá trị nhỏ nhất của \( p \), ta cần xét hàm bậc nhất đối với \( m \):

\[
p(m) = 2m + 3.
\]

Giá trị nhỏ nhất sẽ đạt được khi \( m \) nhỏ nhất có thể. Không có giới hạn nào cho giá trị của \( m \) nên \( p(m) \) sẽ không có giá trị nhỏ nhất xác định trong các số thực. Tuy nhiên, nếu cho \( m \) bằng một giá trị cụ thể (chẳng hạn \( m = -\infty \)), thì \( p(m) \) cũng sẽ đi đến \( -\infty \).

Tuy nhiên, trong các bài toán toán học, thường ta chỉ xét trong không gian thực và giá trị cụ thể của \( p \) cần được xác định trong một khoảng giá trị hợp lý của \( m \). Giả sử \( m \geq -1 \), thì giá trị nhỏ nhất của \( p \) là:

\[
p_{\text{min}} = 2(-1) + 3 = 1.
\]

### Kết luận

- a) Phương trình có nghiệm với mọi \( m \).
- b) Giá trị nhỏ nhất của \( p = x_1^2 + x_2^2 \) là \( 1 \) tại \( m = -1 \).