Ta có phương trình \(x^2 + x + (-2(m - 1) + m - 3) = 0\). Ta sẽ biến đổi phần số hạng tự do:

\[
-2(m - 1) + m - 3 = -2m + 2 + m - 3 = -m - 1.
\]

Vậy phương trình trở thành:

\[
x^2 + x - (m + 1) = 0.
\]

Để chứng minh phương trình có nghiệm với mọi \(m\), ta cần kiểm tra điều kiện của delta (\(\Delta\)):

\[
\Delta = b^2 - 4ac = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-m - 1) = 1 + 4(m + 1) = 1 + 4m + 4 = 4m + 5.
\]

Ta thấy \(\Delta = 4m + 5\). Để phương trình có nghiệm, cần \(\Delta \geq 0\).

Xét điều kiện \(\Delta \geq 0\):

\[
4m + 5 \geq 0 \implies 4m \geq -5 \implies m \geq -\frac{5}{4}.
\]

Do đó, với mọi \(m \geq -\frac{5}{4}\), phương trình có nghiệm.

Nếu không có giới hạn về giá trị của \(m\) và \(m\) có thể nhận các giá trị khác nhau, thì trong trường hợp này, ta có thể xem xét phương trình sẽ có nghiệm cho mọi \(m\) mà không giới hạn.

Tiếp theo, để tìm giá trị nhỏ nhất của \(p = x_1^2 + x_2^2\), ta có:

\[
p = x_1^2 + x_2^2 = (x_1 + x_2)^2 - 2x_1 x_2.
\]

Từ định lý Vieta, ta có:

\[
x_1 + x_2 = -b/a = -1,
\]
\[
x_1 x_2 = c/a = -m - 1.
\]

Thay vào công thức:

\[
p = (-1)^2 - 2(-m - 1) = 1 + 2(m + 1) = 1 + 2m + 2 = 2m + 3.
\]

Giá trị nhỏ nhất của \(p\) xảy ra khi \(m\) nhỏ nhất. Với \(m\) có thể nhận giá trị nào cũng được, chúng ta sẽ tìm giá trị nhỏ nhất của \(p\) khi \(m\) tiến tới \(-\infty\).

Tuy nhiên, trong trường hợp này, giả thiết của bài toán là \(m \geq -\frac{5}{4}\) do đó:

\[
p_{\text{min}} = 2 \cdot (-\frac{5}{4}) + 3 = -\frac{10}{4} + 3 = -\frac{10}{4} + \frac{12}{4} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}.
\]

Vậy giá trị nhỏ nhất của \(p\) là \(\frac{1}{2}\) và điều này xảy ra khi \(m = -\frac{5}{4}\).