Để tính tích vô hướng của hai véctơ \( \vec{BN} \) và \( \vec{CM} \), trước tiên chúng ta cần xác định tọa độ của các điểm trong tam giác \( ABC \) được mô tả.

1. **Tọa độ điểm A, B, C**:
- Giả sử điểm \( A \) có tọa độ \( (0, 0) \).
- Vì tam giác \( ABC \) cân tại \( A \) và \( AB = AC = 6 \) với góc \( BAC = 120^\circ \), ta có:
- Điểm \( B \) có tọa độ \( (6, 0) \).
- Điểm \( C \) có tọa độ được tính như sau:
\[
C = (6 \cos 120^\circ, 6 \sin 120^\circ) = (6 \cdot (-\frac{1}{2}), 6 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}) = (-3, 3\sqrt{3}).
\]

2. **Tọa độ điểm M và N**:
- Điểm \( M \) thuộc \( AB \) và được xác định bằng \( AM = \frac{1}{3}AB = \frac{1}{3} \cdot 6 = 2 \). Do đó, tọa độ \( M \) là:
\[
M = (2, 0).
\]
- Điểm \( N \) là trung điểm của \( AC \), vì vậy tọa độ \( N \) được tính như sau:
\[
N = \left( \frac{0 + (-3)}{2}, \frac{0 + 3\sqrt{3}}{2} \right) = \left(-\frac{3}{2}, \frac{3\sqrt{3}}{2}\right).
\]

3. **Tính các vị trí véctơ \( \vec{BN} \) và \( \vec{CM} \)**:
- Véctơ \( \vec{BN} = N - B = \left( -\frac{3}{2} - 6, \frac{3\sqrt{3}}{2} - 0 \right) = \left( -\frac{15}{2}, \frac{3\sqrt{3}}{2} \right) \).
- Véctơ \( \vec{CM} = M - C = \left( 2 - (-3), 0 - 3\sqrt{3} \right) = (5, -3\sqrt{3}) \).

4. **Tính tích vô hướng \( \vec{BN} \cdot \vec{CM} \)**:
- Công thức tích vô hướng của hai véctơ \( (x_1, y_1) \) và \( (x_2, y_2) \) là:
\[
\vec{a} \cdot \vec{b} = x_1 x_2 + y_1 y_2.
\]
- Áp dụng vào \( \vec{BN} = \left( -\frac{15}{2}, \frac{3\sqrt{3}}{2} \right) \) và \( \vec{CM} = (5, -3\sqrt{3}) \):
\[
\vec{BN} \cdot \vec{CM} = \left(-\frac{15}{2}\right) \cdot 5 + \left(\frac{3\sqrt{3}}{2}\right) \cdot (-3\sqrt{3}).
\]

- Tính từng phần:
\[
-\frac{15}{2} \cdot 5 = -\frac{75}{2}
\]
\[
\frac{3\sqrt{3}}{2} \cdot (-3\sqrt{3}) = -\frac{9 \times 3}{2} = -\frac{27}{2}.
\]

- Kết hợp lại:
\[
\vec{BN} \cdot \vec{CM} = -\frac{75}{2} - \frac{27}{2} = -\frac{102}{2} = -51.
\]

Vậy tích vô hướng \( \vec{BN} \cdot \vec{CM} \) là \( -51 \).