Chúng ta sẽ chứng minh các kết luận theo từng phần một. Đầu tiên, hãy vẽ hình tam giác ABC với AB = AC và điều kiện E nằm trên tia phân giác của góc BAC.

### a) Chứng minh ΔAEN = ΔAEP.

1. **Góc AEN và góc AEP:**
- E thuộc tia phân giác của góc BAC nên ta có góc \( \angle BAE = \angle EAC \).

2. **Góc ENP:**
- Từ định nghĩa, ta có \( EN \perp AB \) và \( EP \perp AC \), nên \( \angle AEN = \angle AEP = 90^\circ \).

Vì vậy:
- \( \angle AEN = \angle AEP \) (cùng bằng 90 độ),
- \( \angle BAE = \angle EAC \).

3. **Cạnh AE:**
- Cạnh AE chung cho ΔAEN và ΔAEP.

Sử dụng tiêu chí hai góc và một cạnh (A-A-A), ta có:
\[
\Delta AEN \cong \Delta AEP \implies \Delta AEN = \Delta AEP
\]

### b) Chứng minh ΔABE = ΔACE.

1. **Cạnh AB và AC:**
- Theo giả thiết, \( AB = AC \).

2. **Góc BAE và góc EAC:**
- Tương tự như trên, ta có \( \angle BAE = \angle EAC \) (cùng là một góc của tia phân giác).

3. **Cạnh AE:**
- Cạnh AE là cạnh chung của hai tam giác.

Sử dụng tiêu chí hai góc và một cạnh (A-A-A), ta có:
\[
\Delta ABE \cong \Delta ACE \implies \Delta ABE = \Delta ACE
\]

### c) Chứng minh ΔBNE = ΔCPE.

1. **Cạnh BN và CP:**
- Cạnh EN vuông góc với AB và cách đều mỗi nhóm của AB, vì vậy \( N \) là ảnh phản xạ của \( P \) qua đường thẳng \( AE \).

2. **Cạnh AE:**
- Cạnh AE là cạnh chung giữa hai tam giác.

3. **Góc BNE và CPE:**
- Vì bảng này là về một điểm trên tia phân giác và hai tam giác là đối xứng so với tia phân giác.

Vì vậy, ta có:
\[
\Delta BNE \cong \Delta CPE \implies \Delta BNE = \Delta CPE
\]

### d) Gọi M là trung điểm của BC. Chứng minh A, M, E thẳng hàng.

1. **M là trung điểm BC:**
- Từ b, ta đã chứng minh rằng \( AB = AC \) và góc \( \angle BAE = \angle EAC \).
- Theo định nghĩa của điểm M, ta có khoảng cách BM = MC.

2. **Tia phân giác:**
- Tia phân giác của góc BAC cũng chính là đường phẳng đi qua A và M, do đó điểm E nằm trên đường thẳng này.

Dựa trên những điều trên, ta khẳng định rằng ba điểm A, M, E nằm trên một đường thẳng.

### Kết luận

Chúng ta đã chứng minh được các kết luận a, b, c, d theo yêu cầu. Các hình vẽ sẽ giúp cho việc hình dung dễ dàng hơn, tuy nhiên bạn có thể vẽ hình với những bước đã trình bày ở trên.