Để chứng minh rằng \( 8p + 1 \) là hợp số khi \( p \) và \( 8p - 1 \) là các số nguyên tố, chúng ta sẽ làm theo các bước sau:

1. **Giả sử \( p \) là số nguyên tố.**
2. **Tính giá trị của \( 8p + 1 \)**:
\[
8p + 1
\]

3. **Xét \( 8p - 1 \)**, ta biết rằng \( 8p - 1 \) cũng là một số nguyên tố.

Bây giờ, ta sẽ xem xét các giá trị của \( p \).
- Nếu \( p = 2 \) (số nguyên tố nhỏ nhất):
\[
8p + 1 = 8 \times 2 + 1 = 16 + 1 = 17 \quad (\text{Tuy nhiên, 17 là số nguyên tố})
\]

Như vậy, với \( p = 2 \), \( 8p + 1 \) không phải là hợp số, do đó, ta cần tiếp tục với các số nguyên tố lẻ, vì nếu \( p \) là chẵn thì nó chỉ có thể là 2.

- Ta xét các số nguyên tố lẻ: \( p = 3, 5, 7, \ldots \).

4. **Giả sử \( p \) là một số nguyên tố lẻ**:
- Khi \( p \) là một số nguyên tố lẻ, \( 8p \) sẽ là một số chẵn và do đó \( 8p + 1 \) sẽ là một số lẻ.
- Xét \( 8p - 1 = 8(2k + 1) - 1 = 16k + 7 \) với \( k \) là một số nguyên.
- Tìm một cách khẳng định \( 8p + 1 \) có thể bị chia hết cho một số nguyên tố.

5. **Xét tính chất chia hết**:
- Trong trường hợp \( p \) là một số nguyên tố lẻ, \( p \) có thể viết dưới dạng \( 6k \pm 1 \) (theo định lý số nguyên tố).

- **Trường hợp \( p \equiv 1 \pmod{3} \)**:
\[
8p + 1 \equiv 8(1) + 1 \equiv 9 \equiv 0 \mod{3} \quad (\text{chia hết cho 3})
\]
- **Trường hợp \( p \equiv 2 \pmod{3} \)**:
\[
8p + 1 \equiv 8(2) + 1 \equiv 16 + 1 \equiv 17 \equiv 2 \mod{3} \quad (\text{không chia hết})
\]

- **Trường hợp \( p \equiv 2 \pmod{3} \)** lại không thể xảy ra vì \( 8p - 1 \) sẽ không phải là nguyên tố.

6. **Kết luận**:
- Nếu \( p \) là số nguyên tố lẻ (là \( 6k \pm 1 \)), thì chắc chắn \( 8p + 1 \equiv 0 \mod{3} \).
- Do đó, \( 8p + 1 \) lớn hơn 3 và chia hết cho 3 nên là hợp số.

Cuối cùng, ta có thể kết luận rằng nếu \( p \) và \( 8p-1 \) là các số nguyên tố, thì \( 8p + 1 \) là hợp số.