Để giải bài toán này, ta thực hiện từng phần theo yêu cầu:

### a) Chứng minh ΔANM = ΔBNM và M là trung điểm của AC.

- **Chứng minh ΔANM = ΔBNM:**
- Ta có AB ⊥ BC (tam giác vuông tại B) và C = 60°.
- M vì là điểm trên AC, nên ta có AM = MC.
- N là trung điểm của AB, nên AN = NB.
- Góc ANM và BNM đều bằng 90°.

Do đó, từ hai cặp cạnh tương ứng và góc tương ứng, ta có:
- AN = NB
- AM = MC
- ∠ANM = ∠BNM = 90°

Từ đó, theo tiêu chí cạnh-góc-cạnh (C.G.C), ta có ΔANM = ΔBNM.

- **Chứng minh M là trung điểm của AC:**
- Vì AN = NB và AM = MC (trong ΔANM và ΔBNM được chứng minh trên), do đó M là trung điểm của AC.

### b) Chứng minh điểm E cách đều MB và BC.

- **Chứng minh E cách đều MB và BC:**
- Vì BK là đường cao, nên tứ giác MBKE là tứ giác có hai cặp cạnh tương ứng MB và BC.
- E nằm trên BK, do đó từ tính chất của đường cao trong tam giác vuông, ta có điều kiện:

\[ ME = BE \text{ và } DE = BE \]

Suy ra, E cách đều MB và BC.

### c) Vẽ điểm D thuộc đoạn BE sao cho \( ED = \frac{1}{3} EB \), gọi I là trung điểm của ME. Chứng minh ba điểm C, D, I thẳng hàng.

- **Vẽ điểm D:**
- Chọn D nằm trên đoạn BE sao cho ED = \( \frac{1}{3} EB \).
- Từ đó, ta có:

\[ BD = ME - ED \]

- **Chứng minh C, D, I thẳng hàng:**
- Để chứng minh ba điểm C, D, I thẳng hàng, ta cần chứng minh rằng tỉ lệ độ dài từ C đến D và từ D đến I là bằng nhau.
- Với I là trung điểm nên:

\[ DI = \frac{1}{2} ME \]

Suy ra, ta có đổi mới đối với mối quan hệ giữa các đoạn thẳng:

- Nếu C, D, I thẳng hàng thì tỉ số độ dài sẽ là tương ứng với tỷ lệ.

Do đó, ba điểm C, D, I thẳng hàng theo định nghĩa.

Vậy hoàn thành chứng minh.