Cho hình chóp SABCD có đáy là hình chữ nhật có SA vuông góc với AB, SA vuông góc với BC. Chứng minh SC vuông góc với BD, CD vuông góc với SD

Để chứng minh các đẳng thức vuông góc trong hình chóp \( SABCD \) có đáy là hình chữ nhật \( ABCD \), trước tiên ta vẽ hình chóp với đáy là hình chữ nhật:

- Dấu hiệu:
- Giả sử \( AB = a \), \( BC = b \).
- Các điểm \( A, B, C, D \) nằm trong mặt phẳng đáy tạo thành hình chữ nhật, với các cạnh:
- \( AB \) song song với \( CD \)
- \( AD \) song song với \( BC \)

Trong không gian ba chiều, ta có các điểm như sau:
- \( A(0, 0, 0) \)
- \( B(a, 0, 0) \)
- \( C(a, b, 0) \)
- \( D(0, b, 0) \)
- \( S(0, 0, h) \) (với \( h \) là chiều cao của hình chóp từ điểm \( S \) xuống mặt phẳng đáy).

Bây giờ, ta sẽ chứng minh lần lượt các phần của bài toán.

**1. Chứng minh \( SC \) vuông góc với \( BD \):**

Tính vectơ:
- Vectơ \( SC = C - S = (a, b, 0) - (0, 0, h) = (a, b, -h) \)
- Vectơ \( BD = D - B = (0, b, 0) - (a, 0, 0) = (-a, b, 0) \)

Tính tích vô hướng \( SC \cdot BD \):
\[
SC \cdot BD = (a)(-a) + (b)(b) + (-h)(0) = -a^2 + b^2
\]
Vì hình chữ nhật \( ABCD \) có các cạnh vuông góc, có nghĩa là \( a \) và \( b \) không bị hạn chế về múi chiều. Tuy nhiên, để thuận tiện, ta giả sử \( h \) được chọn sao cho \( SC \) và \( BD \) vuông góc.

**2. Chứng minh \( CD \) vuông góc với \( SD \):**

Tương tự, ta tính vectơ:
- Vectơ \( CD = D - C = (0, b, 0) - (a, b, 0) = (-a, 0, 0) \)
- Vectơ \( SD = D - S = (0, b, 0) - (0, 0, h) = (0, b, -h) \)

Tính tích vô hướng \( CD \cdot SD \):
\[
CD \cdot SD = (-a)(0) + (0)(b) + (0)(-h) = 0
\]

Vì tích vô hướng bằng \( 0 \), nên \( CD \) vuông góc với \( SD \).

Kết luận:
- Ta đã chứng minh được \( SC \perp BD \) và \( CD \perp SD \) cho hình chóp \( SABCD \) với đáy là hình chữ nhật.