Để tính tổng \( S = 1 + \frac{1}{3} + \frac{1}{3^2} + \frac{1}{3^3} + \ldots + \frac{1}{3^{99}} + \frac{1}{3^{50}} \), chúng ta sẽ chia tổng này thành hai phần: tổng từ \( \frac{1}{3^0} \) đến \( \frac{1}{3^{99}} \) và \( \frac{1}{3^{50}} \).

### Bước 1: Tính tổng từ \( \frac{1}{3^0} \) đến \( \frac{1}{3^{99}} \)

Đây là một chuỗi hình học với công bội \( r = \frac{1}{3} \) và số hạng đầu tiên là \( a = 1 \).
Số hạng cuối là \( n = 100 \) (từ \( 0 \) đến \( 99 \)).

Công thức tính tổng \( S_n \) của một chuỗi hình học là:
\[
S_n = a \frac{1-r^n}{1-r}
\]

Áp dụng công thức vào chuỗi trên:
\[
S = 1 \cdot \frac{1 - \left( \frac{1}{3} \right)^{100}}{1 - \frac{1}{3}} = \frac{1 - \left( \frac{1}{3} \right)^{100}}{\frac{2}{3}} = \frac{3}{2} \left( 1 - \frac{1}{3^{100}} \right)
\]

### Bước 2: Tính giá trị \( \frac{1}{3^{50}} \)

Biểu thức cuối cùng chỉ bao gồm phần \( \frac{1}{3^{50}} \), không cần tổng lại vào chuỗi hình học vì nó được tính riêng.

### Bước 3: Kết hợp các phần

Tổng \( S \) là:
\[
S = \frac{3}{2} \left( 1 - \frac{1}{3^{100}} \right) + \frac{1}{3^{50}}
\]

### Kết luận

Do vậy, giá trị tổng \( S \) là:
\[
S = \frac{3}{2} \left( 1 - \frac{1}{3^{100}} \right) + \frac{1}{3^{50}}
\]

Đây chính là biểu thức cuối cùng cho tổng mà bạn yêu cầu.