Để giải bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện từng phần theo yêu cầu.

### a) Chứng minh tứ giác BEDC là hình thang cân.

Trong tam giác ABC cân tại A, ta có các đặc điểm sau:

1. \( AB = AC \)
2. Gọi \( D \) là điểm trên \( AC \) sao cho \( BD \) là đường phân giác của \( \angle ABC \).
3. Gọi \( E \) là điểm trên \( AB \) sao cho \( CE \) là đường phân giác của \( \angle ACB \).

Theo định lý đường phân giác, ta có:

- Đường phân giác \( BD \) chia \( \angle ABC \) thành hai góc bằng nhau, tức là:
\[
\angle ABD = \angle DBC
\]

- Tương tự, đường phân giác \( CE \) chia \( \angle ACB \) thành hai góc bằng nhau, tức là:
\[
\angle ACE = \angle ECB
\]

Bởi vì tam giác ABC là tam giác cân, ta có:
\[
\angle ABC = \angle ACB
\]
Điều này có nghĩa là:
\[
\angle ABD + \angle DBC = \angle ACB
\]
và
\[
\angle ACE + \angle ECB = \angle ABC
\]

Suy ra:
\[
\angle ABD + \angle DBC = \angle ACE + \angle ECB
\]

Như vậy, chúng ta có:
\[
\angle ABD + \angle EBC = \angle DBC + \angle AEC
\]

Ta thấy rằng hai cặp góc này bằng nhau, cho thấy rằng \( BE \parallel CD \). Từ đó, ta có tứ giác \( BEDC \) là hình thang.

Hơn nữa, do tứ giác BEDC có hai cạnh đối diện là \( BE \) và \( CD \) song song và hai góc ở một cạnh là góc bằng nhau \( \angle ABD + \angle DBC = \angle ACB \), nên tứ giác \( BEDC \) là hình thang cân.

### b) Tính số đo các góc của hình thang cân BEDC, biết rằng góc \( C = 50^\circ \).

Theo giả thiết, chúng ta đã có:
\[
\angle ACB = \angle C = 50^\circ
\]
Do đó, ta có:
\[
\angle ACE = \angle ECB = \frac{1}{2} \times 50^\circ = 25^\circ
\]

Góc \( \angle ABD \) và \( \angle DBC \) cũng sẽ bằn nhau bởi định nghịch đảo của đường phân giác trong tam giác cân. Sau đó, chúng ta tính tổng các góc trong tam giác ABC:
\[
\angle ABC = \angle ACB = \angle CAB
\]
Vì tam giác ABC là tam giác cân tại A, chúng ta có:
\[
\angle ABC + \angle ACB + \angle CAB = 180^\circ
\]
Đặt \( \angle ABC = \angle CAB = x \):
\[
x + 50^\circ + x = 180^\circ \Rightarrow 2x = 130^\circ \Rightarrow x = 65^\circ
\]

Vì vậy:
\[
\angle ABD = \angle DBC = \frac{1}{2} \times 65^\circ = 32.5^\circ
\]

Cuối cùng, tứ giác BEDC có các góc như sau:
- \( \angle BED = \angle ABD = 32.5^\circ \)
- \( \angle CDE = \angle ABC = 32.5^\circ \)
- \( \angle BEC = \angle EBC = 25^\circ \)
- \( \angle DCE = \angle ACE = 25^\circ \)

Do đó, các góc của hình thang cân BEDC là:
- \( \angle BED = 32.5^\circ \)
- \( \angle CDE = 32.5^\circ \)
- \( \angle BEC = 25^\circ \)
- \( \angle DCE = 25^\circ \)

Vậy, ta đã chứng minh tứ giác BEDC là hình thang cân và tìm được các số đo góc của nó.