Để chứng minh rằng hai số \( 2008^{100} \) và \( 2008^{101} + 1 \) không thể đồng thời là số nguyên tố, ta sẽ thực hiện các bước sau:

1. **Xét số \( 2008^{100} \)**:
- Số \( 2008^{100} \) là lũy thừa của \( 2008 \), một số lớn hơn 1. Do đó, \( 2008^{100} \) sẽ lớn hơn 1 và sẽ có các ước số khác ngoài 1 và chính nó nếu \( 2008^{100} \) lớn hơn 1. Cụ thể, nó chính xác là một số chẵn vì \( 2008 \) là số chẵn.

2. **Xét số \( 2008^{101} + 1 \)**:
- Ta có thể biểu diễn \( 2008^{101} + 1 \) như sau:
\[
2008^{101} + 1 = 2008 \cdot 2008^{100} + 1
\]
Vì \( 2008 \) là số chẵn, nên \( 2008^{101} \) cũng là số chẵn. Thêm 1 vào một số chẵn sẽ tạo ra một số lẻ. Vậy \( 2008^{101} + 1 \) là số lẻ.

3. **Nhận xét về tính nguyên tố**:
- Số đầu tiên \( 2008^{100} \) là số chẵn, trong khi số thứ hai \( 2008^{101} + 1 \) là số lẻ. Nếu \( 2008^{100} \) là số nguyên tố, thì nó chỉ có thể là số 2 (vì số chẵn duy nhất là số nguyên tố).
- Tuy nhiên, \( 2008^{100} \) không bằng 2 vì \( 2008^{100} \) lớn hơn 2.

4. **Kết luận**:
- Vì \( 2008^{100} \) không thể là số nguyên tố (nó lớn hơn 2 và là số chẵn), nên chúng ta suy ra rằng hai số \( 2008^{100} \) và \( 2008^{101} + 1 \) không thể đồng thời là số nguyên tố.

Do đó, ta đã chứng minh rằng hai số \( 2008^{100} \) và \( 2008^{101}+1 \) không thể đồng thời là số nguyên tố.