Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thoi cạnh bằng 1, ABC = 60°

Trong hình chóp \( S.ABCD \) với đáy là hình thoi cạnh bằng 1 và góc \( ABC = 60^\circ \), ta sẽ giải bài toán tìm khoảng cách giữa hai đường thẳng \( BM \) và \( SN \).

### Bước 1: Tính tọa độ các điểm

- **Đáy ABCD** là hình thoi, với tọa độ các điểm có thể được xác định như sau:
- \( A(0, 0, 0) \)
- \( B(1, 0, 0) \)
- \( C(0.5, 0.866, 0) \) (1 là chiều dài, height = \( 1 \cdot \sin(60^\circ) \))
- \( D(-0.5, 0.866, 0) \)

- Chóp S :
- Giả sử \( S \) có tọa độ \( S(0, 0, h) \) với \( h \) là chiều cao.

### Bước 2: Tính tọa độ trung điểm

- **Trung điểm \( M \) của \( SA \)**:
\[
M = \left( \frac{0 + 0}{2}, \frac{0 + 0}{2}, \frac{h + 0}{2} \right) = (0, 0, \frac{h}{2})
\]

- **Trung điểm \( N \) của \( CD \)**:
\[
N = \left( \frac{0.5 - 0.5}{2}, \frac{0.866 + 0.866}{2}, \frac{0 + 0}{2} \right) = (0, 0.866, 0)
\]

### Bước 3: Phương trình của hai đường thẳng

- **Đường thẳng \( BM \)** (kết nối điểm B và M):
- Điểm B: \( (1, 0, 0) \)
- Điểm M: \( \left( 0, 0, \frac{h}{2} \right) \)
- Phương trính tham số của \( BM \): \( (1 - t, 0, \frac{h}{2}t) \)

- **Đường thẳng \( SN \)** (kết nối điểm S và N):
- Điểm S: \( (0, 0, h) \)
- Điểm N: \( (0, 0.866, 0) \)
- Phương trính tham số của \( SN \): \( (0, 0.866u, h - hu) \)

### Bước 4: Tìm khoảng cách giữa hai đường thẳng

Khoảng cách giữa hai đường thẳng trong không gian có thể được tính bằng công thức. Giả sử:

- \( \mathbf{d_1} = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ \frac{h}{2} \end{pmatrix} \)
- \( \mathbf{d_2} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0.866 \\ 0 \end{pmatrix} \)

Ta có:

1. Vector chỉ phương của \( BM \): \( (1, 0, \frac{h}{2}) \)
2. Vector chỉ phương của \( SN \): \( (0, 0.866, h) \)

Sau đó, dùng dạng tổng quát để tính khoảng cách.

### Kết luận

Để tính chính xác khoảng cách, bạn có thể thay các thông số cho \( h \) và dùng công thức tổng quát cho khoảng cách giữa hai đường thẳng trong không gian. Lưu ý kết quả cuối cùng sẽ phụ thuộc vào giá trị chiều cao \( h \) mà bạn xác định trong bài toán.