Để tìm \( k \) sao cho phương trình \( x^2 - 2(k-1)x - 4k = 0 \) có hai nghiệm \( x_1 \) và \( x_2 \) thỏa mãn \( 3x_1 - x_2 = 2 \), ta có thể làm như sau:

1. **Theo điều kiện bài toán, ta biến đổi trở về một biểu thức cho \( x_2 \)**:
\[
x_2 = 3x_1 - 2
\]

2. **Thay \( x_2 \) vào phương trình bậc hai**:

Ta biết rằng tổng và tích của hai nghiệm của phương trình \( ax^2 + bx + c = 0 \) được tính theo công thức:
\[
x_1 + x_2 = -\frac{b}{a}
\]
\[
x_1 x_2 = \frac{c}{a}
\]

Với phương trình của ta:
- \( a = 1 \)
- \( b = -2(k-1) \)
- \( c = -4k \)

Tổng \( x_1 + x_2 \):
\[
x_1 + x_2 = 2(k-1)
\]

Sử dụng \( x_2 = 3x_1 - 2 \):
\[
x_1 + (3x_1 - 2) = 2(k-1)
\]
\[
4x_1 - 2 = 2(k - 1)
\]
\[
4x_1 = 2(k - 1) + 2 = 2k
\]
\[
x_1 = \frac{k}{2}
\]

3. **Tính \( x_2 \)**:
\[
x_2 = 3x_1 - 2 = 3 \left(\frac{k}{2}\right) - 2 = \frac{3k}{2} - 2
\]

4. **Tính tích \( x_1 x_2 \)**:
\[
x_1 x_2 = \frac{k}{2} \left( \frac{3k}{2} - 2 \right)
\]
\[
x_1 x_2 = \frac{k(3k - 4)}{4}
\]

5. **Theo công thức tích hai nghiệm**:
Đặt điều kiện:
\[
\frac{k(3k - 4)}{4} = -4k
\]
Nhân cả hai vế với 4 (điều này hợp lệ miễn là \( k \neq 0 \)):
\[
k(3k - 4) = -16k
\]
\[
3k^2 - 4k + 16k = 0
\]
\[
3k^2 + 12k = 0
\]
\[
3k(k + 4) = 0
\]

6. **Giải phương trình**:
- \( k = 0 \)
- \( k = -4 \)

Tuy nhiên, cần kiểm tra lại để thấy phương trình bậc hai có nghiệm hay không:
- Nếu \( k = 0 \):
\[
x^2 = 0.
\]
Có nghiệm kép.

- Nếu \( k = -4 \):
\[
x^2 + 10x + 16 = 0.
\]
Tính delta:
\[
\Delta = 10^2 - 4 \cdot 1 \cdot 16 = 100 - 64 = 36 > 0.
\]
Có hai nghiệm thực phân biệt.

**Kết luận**: Các giá trị của \( k \) thỏa mãn là \( k = 0 \) và \( k = -4 \).