Để chứng minh AM vuông góc với EF trong tam giác vuông ABC tại A với AB > AC, ta sẽ thực hiện như sau:

1. **Định nghĩa các điểm**:
- Gọi \( H \) là chân đường cao từ \( A \) đến cạnh \( BC \).
- Gọi \( E \) là hình chiếu vuông góc của \( H \) lên \( AB \).
- Gọi \( F \) là hình chiếu vuông góc của \( H \) lên \( AC \).
- Gọi \( M \) là trung điểm của đoạn thẳng \( EF \).

2. **Chứng minh EF vuông góc với AH**:
- Trong tam giác vuông ABC tại A, đường cao AH chia tam giác thành hai tam giác vuông AHB và AHC.
- Từ định nghĩa hình chiếu, ta có \( HE \perp AB \) và \( HF \perp AC \).
- Do đó, tam giác \( AHE \) và \( AHF \) đều vuông tại H.

3. **Chứng minh AM vuông góc với EF**:
- Ta có \( HE \perp AB \) và \( HF \perp AC \).
- Suy ra, \( EH \) và \( FH \) đều là đoạn thẳng vuông góc với các đoạn thẳng tương ứng với mặt phẳng chứa \( EF \).
- Gọi \( G \) là điểm trên \( EF \) sao cho \( AG \) là đường thẳng đi qua \( AH \) và vuông góc với \( EF \).
- Dễ dàng thấy rằng \( AM \) là đoạn thẳng nối từ \( A \) đến trung điểm của đoạn \( EF \), do đó \( AM \) có thể coi là trung bình của hai đoạn thẳng vuông góc này.

4. **Áp dụng định lý hình học**:
- Theo định lý Pytago trong tam giác vuông, nếu một đoạn thẳng nối từ một điểm đến trung bình của một đoạn thẳng vuông góc với một đoạn thẳng khác (hình chiếu vuông góc), thì đoạn thẳng đó sẽ vuông góc với đoạn thẳng còn lại.

Từ các lí luận ở trên, ta có thể kết luận rằng \( AM \) vuông góc với \( EF \).

Như vậy, ta đã hoàn thành việc chứng minh rằng AM vuông góc với EF trong tam giác vuông ABC tại A với AB > AC.