Để giải bài toán cho tam giác \( ABC \) vuông tại \( A \) với \( \angle B = 60^\circ \), ta thực hiện các bước sau:

### a) Tính góc \( C \)

Tam giác \( ABC \) vuông tại \( A \) nên:
\[
\angle A + \angle B + \angle C = 180^\circ
\]

Với \( \angle A = 90^\circ \) và \( \angle B = 60^\circ \):
\[
90^\circ + 60^\circ + \angle C = 180^\circ
\]
\[
\angle C = 180^\circ - 150^\circ = 30^\circ
\]

### b) Tính độ dài \( DE \)

Giả sử \( AC = a \) và \( AB = b \).
Trong tam giác \( ABC \), theo định lý sin, có:
\[
\frac{AB}{\sin C} = \frac{AC}{\sin B}
\]
Vì \( C = 30^\circ \) và \( B = 60^\circ \):
\[
\frac{b}{\frac{1}{2}} = \frac{a}{\frac{\sqrt{3}}{2}}
\]
Suy ra:
\[
b = \frac{a}{\sqrt{3}}
\]

Nối \( B \) và \( AC \) cắt nhau tại \( D \), dựng đường thẳng \( DE \) vuông góc với \( AC \). Khi đó, \( \triangle BDE \) cũng vuông tại \( E \) và \( \angle DBE = 60^\circ \).

Áp dụng định lý Pythagoras cho \( \triangle BDE \):
\[
BE = BD \cdot \tan(60^\circ) = BD \cdot \sqrt{3}
\]

### Tính độ dài \( AD \)

Ta có:
\[
AD = AB \cdot \cos(60^\circ) = b \cdot \frac{1}{2} = \frac{a}{2\sqrt{3}}
\]

Cuối cùng, tính độ dài \( AD \) theo công thức

Vì vậy, độ dài \( AD \) là:
\[
AD = \frac{a}{2\sqrt{3}}
\]

### Tổng kết

- \( C = 30^\circ \)
- Độ dài \( AD = \frac{a}{2 \sqrt{3}} \)

Bạn cần thêm thông tin hay giải thích chi tiết gì không?