Để mỗi biểu thức trong bài toán có nghĩa, ta cần xem xét các điều kiện cho các giá trị của \( x \) trong từng trường hợp. Dưới đây là phân tích chi tiết cho từng biểu thức:

a) \(\frac{\sqrt{x-3}}{\sqrt{2x+3}}\)

- Điều kiện để \(\sqrt{x-3}\) có nghĩa: \(x - 3 \geq 0 \Rightarrow x \geq 3\).
- Điều kiện để \(\sqrt{2x+3}\) có nghĩa và khác 0: \(2x + 3 > 0 \Rightarrow x > -\frac{3}{2}\).

Kết luận: \(x \geq 3\) là điều kiện lớn nhất.

b) \(\frac{\sqrt{-2x+1}}{\sqrt{x+1}}\)

- Điều kiện để \(\sqrt{-2x+1}\) có nghĩa: \(-2x + 1 \geq 0 \Rightarrow x \leq \frac{1}{2}\).
- Điều kiện để \(\sqrt{x+1}\) có nghĩa và khác 0: \(x + 1 > 0 \Rightarrow x > -1\).

Kết luận: \(-1 < x \leq \frac{1}{2}\).

c) \(\frac{\sqrt{x^2+3}}{\sqrt{2x+3}}\)

- Điều kiện để \(\sqrt{x^2+3}\) luôn có nghĩa (vì \(x^2 + 3 \geq 3\)).
- Điều kiện để \(\sqrt{2x+3}\) có nghĩa và khác 0: \(2x + 3 > 0 \Rightarrow x > -\frac{3}{2}\).

Kết luận: \(x > -\frac{3}{2}\).

d) \(\frac{\sqrt{-2x^2-1}}{\sqrt{x^2+1}}\)

- Điều kiện cho \(\sqrt{-2x^2-1}\) có nghĩa: \(-2x^2 - 1 \geq 0\) dẫn tới \(x^2 \leq -\frac{1}{2}\), điều này không có giá trị thực nào.

Kết luận: Biểu thức này không có nghĩa với bất kỳ giá trị nào của \( x \).

Tóm tắt:

- a) \(x \geq 3\)
- b) \(-1 < x \leq \frac{1}{2}\)
- c) \(x > -\frac{3}{2}\)
- d) Không có giá trị nào.