Để tìm \( n \in \mathbb{N} \) sao cho biểu thức \( n^2 + 3n + 6 \) chia hết cho \( n + 3 \), chúng ta sẽ sử dụng định lý chia, tức là chúng ta sẽ tính phần dư khi chia \( n^2 + 3n + 6 \) cho \( n + 3 \).

Sử dụng phép chia đa thức, ta có thể viết:

\[
n^2 + 3n + 6 = (n + 3)(n + k) + R
\]

Trong đó \( R \) là phần dư và \( n + k \) là thương, và độ lớn của \( R \) nhỏ hơn độ lớn của \( n + 3 \). Ở đây, độ lớn của \( R \) là một hằng số, vì \( n + 3 \) bậc nhất còn \( n^2 + 3n + 6 \) bậc hai.

Để tính \( R \), ta có thể thay \( n = -3 \):

\[
R = (-3)^2 + 3(-3) + 6 = 9 - 9 + 6 = 6
\]

Vậy nên:

\[
n^2 + 3n + 6 \equiv 6 \mod (n + 3)
\]

Để \( n^2 + 3n + 6 \) chia hết cho \( n + 3 \), thì phần dư \( R \) phải bằng 0:

\[
6 \equiv 0 \mod (n + 3)
\]

Điều này có nghĩa là \( n + 3 \) phải chia hết cho 6:

\[
n + 3 \mid 6
\]

Các ước số của 6 là \( 1, 2, 3, 6 \). Do đó:

- Nếu \( n + 3 = 1 \) thì \( n = -2 \) (không thuộc \( \mathbb{N} \))
- Nếu \( n + 3 = 2 \) thì \( n = -1 \) (không thuộc \( \mathbb{N} \))
- Nếu \( n + 3 = 3 \) thì \( n = 0 \) (thuộc \( \mathbb{N} \))
- Nếu \( n + 3 = 6 \) thì \( n = 3 \) (thuộc \( \mathbb{N} \))

Vậy các giá trị của \( n \) thỏa mãn là \( n = 0 \) và \( n = 3 \).

Kết luận, các giá trị của \( n \) thuộc \( \mathbb{N} \) sao cho \( n^2 + 3n + 6 \) chia hết cho \( n + 3 \) là:

\[
\{0, 3\}
\]