Để giải bài toán này, ta sẽ lần lượt thực hiện các bước như sau:

### a) Rút gọn biểu thức A

Biểu thức đã cho là:

\[
A = \left( \frac{x - 3}{x} \cdot \frac{x}{x - 3} \cdot \frac{9}{x^2 - 3x} \right) \cdot \frac{2x - 2}{x}
\]

1. **Rút gọn các phần tử**:
- Phần đầu tiên: \(\frac{x - 3}{x}\) và \(\frac{x}{x - 3}\) rút gọn với nhau:
\[
\frac{x - 3}{x} \cdot \frac{x}{x - 3} = 1 \quad (x \neq 3)
\]
- Còn lại:
\[
A = 1 \cdot \frac{9}{x^2 - 3x} \cdot \frac{2(x - 1)}{x} = \frac{9(2(x - 1))}{x(x^2 - 3x)}
\]

2. **Đơn giản hóa biểu thức**:
- Ta biết rằng \(x^2 - 3x = x(x - 3)\):
\[
A = \frac{9 \cdot 2(x - 1)}{x^2(x - 3)} = \frac{18(x - 1)}{x^2(x - 3)}
\]

### b) Tìm giá trị của x để A có giá trị nguyên

Để \(A\) trở thành số nguyên, ta sẽ xem xét mẫu số:

\[
x^2(x - 3) \neq 0 \quad \Rightarrow \quad x \neq 0 \quad \text{và} \quad x \neq 3
\]

Bây giờ, \(A\) có thể được viết lại như sau:

\[
A = \frac{18(x - 1)}{x^2(x - 3)}
\]

Để \(A\) là số nguyên, phân số cần phải chia hết cho \(x^2(x - 3)\) cho các giá trị nguyên của \(x\).

Tiếp theo, để tìm các giá trị mà khiến cho biểu thức nguyên thì ta cần xem xét các giá trị khả thi của \(x - 1\) chia hết cho \(x^2(x - 3)\).

### Kết luận

1. **Giá trị của x**:
- Xét các giá trị \(x\) nguyên không phải 0 và 3.
- Thử các giá trị nguyên từ 1 trở lên và âm, kiểm tra xem khi thế vào \(A\) có thành số nguyên hay không.

Cần thử nghiệm với các giá trị cụ thể để tìm ra các số nguyên.