### Bài 1: Tìm quy luật của dãy số: 1, 3, 7, 15, ...

Để tìm quy luật của dãy số này, ta có thể xem xét các số trong dãy:

- 1 (Số đầu tiên)
- 3 = 1 + 2
- 7 = 3 + 4
- 15 = 7 + 8

Nhận thấy rằng mỗi số trong dãy là tổng của số trước đó và một số hạng để tăng lên:

- 1, 3 (tăng thêm 2)
- 3, 7 (tăng thêm 4)
- 7, 15 (tăng thêm 8)

Số lượng hạng thêm dường như là số mũ của 2 (2 = 2^1, 4 = 2^2, 8 = 2^3).

Vậy quy luật có thể được diễn đạt như sau:
- a(1) = 1
- a(n) = a(n-1) + 2^(n-1) với n ≥ 2

Sử dụng quy luật trên, ta có:
- a(4) = 15
- a(5) = 15 + 16 = 31

Dãy số tiếp theo sẽ là 31.

### Bài 2: A và B cùng hoàn thành một công việc mất 3 giờ; B và C hoàn thành công việc đó mất 4 giờ; C và A hoàn thành công việc đó mất 2,5 giờ.

Giả sử công việc hoàn thành là 1 đơn vị.

- A + B hoàn thành 1 công việc trong 3 giờ ⇒ A + B = 1/3 công việc/giờ
- B + C hoàn thành 1 công việc trong 4 giờ ⇒ B + C = 1/4 công việc/giờ
- C + A hoàn thành 1 công việc trong 2,5 giờ ⇒ C + A = 1/2.5 = 2/5 công việc/giờ

Thêm cả ba phương trình lại:
(A + B) + (B + C) + (C + A) = 1/3 + 1/4 + 2/5

Đặt A + B + C = x, ta có:
2x = 1/3 + 1/4 + 2/5

Chuyển đổi về số chung:
- 1/3 = 20/60
- 1/4 = 15/60
- 2/5 = 24/60

Cộng lại:
2x = (20 + 15 + 24)/60 = 59/60

Dẫn đến:
x = 59/120

Thời gian để cả ba người làm chung là 1/x = 120/59 tiếng ≈ 2.03 giờ.

### Bài 3: Hỏi số bác sĩ được tăng cường thêm là bao nhiêu?

- Giả sử số bác sĩ ban đầu là x. Lương thực đủ cho 80 bác sĩ trong 21 ngày có nghĩa là:
- Tổng lương thực = 80 * 21 = 1680 suất ăn.

Khi tăng thêm số bác sĩ, tổng số bác sĩ là x + k (k là số bác sĩ được tăng cường).

Khi đó, lương thực có đủ trong 14 ngày:
- (x + k) * 14 = 1680

Từ đó, ta có phương trình:
- 80 * 21 = (x + k) * 14
- 1680 = (x + k) * 14
- x + k = 120.

Biết rằng x = 80, ta có:
- 80 + k = 120 ⇒ k = 40.

Do đó, số bác sĩ được tăng cường thêm là 40 bác sĩ.

### Bài 4: Hỏi trường đó đã giành được tất cả bao nhiêu giải?

Giả sử số giải của 7 học sinh (mỗi em đạt ít nhất 2 giải) là:
- 7 * 2 = 14 giải.

Tiếp theo cho 4 học sinh (mỗi em giành ít nhất 3 giải):
- 4 * 3 = 12 giải.

Một học sinh giành 4 giải:
- 1 * 4 = 4 giải.

Tổng cộng giải thưởng là:
- Tối thiểu 14 + 12 + 4 = 30 giải.

Tuy nhiên, số giải nhiều hơn do sinh ra tình huống mỗi em có thể đạt hơn so với ngưỡng tối thiểu. Cụ thể, cần tính cách các giải thưởng không trùng lắp giữa các học sinh.

Thực tế, nếu tính thêm các giải không trùng lặp giữa các nhóm trong từng quy định tổng giải cả trường đã giành trong khoảng giữa học sinh giành nhiều giải nhất. Chính xác số giải mà trường giành được sẽ cần thông tin cụ thể hơn về phân phối giải.

Việc đó giúp biết rõ trường đó đã giành được bao nhiêu giải cụ thể hơn, song tổng tối thiểu là 30 giải cho bài toán này.