Cho \( ABC \) nhọn, đường cao \( AH \). Kẻ \( HE, HF \) lần lượt vuông góc với \( AB, AC \). Lấy điểm \( M \) sao cho \( E \) là trung điểm của \( HM \), điểm \( N \) sao cho \( F \) là trung điểm của \( HN \). I là điểm chung của \( MN \)

Để chứng minh các điều cần chứng minh trong bài toán này, chúng ta sẽ xác định vị trí của các điểm và sử dụng một số tính chất hình học.

### a) Chứng minh \( \triangle AMN \) cân

1. **Xác định vị trí điểm:**
- \( E \) là trung điểm của \( HM \) nên \( HE = EM \).
- \( F \) là trung điểm của \( HN \) nên \( HF = FN \).

2. **Tính chất:**
- Ta có \( HE \perp AB \) và \( HF \perp AC \) với \( AH \perp BC \).
- Do đó, \( AE = AH \) và \( AF = AH \).

3. **Kết luận:**
- Trong \( \triangle AMN \), ta thấy rằng \( AM = AN \).
- Vậy \( \triangle AMN \) cân tại \( A \).

### b) Chứng minh \( MN \perp EF \)

1. **Xác định độ dài và góc:**
- Đường thẳng \( EF \) là đường trung bình trong tam giác vuông \( AHF \), vì \( E \) và \( F \) là trung điểm của \( HM \) và \( HN \).

2. **Chứng minh góc:**
- Do \( HE \) và \( HF \) vuông góc với \( AB \) và \( AC \), nên \( MN \) sẽ vuông góc với \( EF \).

### c) Chứng minh \( AI \perp EF \)

1. **Sử dụng tính chất tam giác:**
- Gọi \( I \) là giao điểm của \( MN \), tức là \( I \) là điểm chung của hai đoạn thẳng vuông góc.

2. **Góc vuông:**
- Từ tính chất tam giác, ta có \( AI \perp EF \) do \( A \) nằm trên đường cao \( AH \) và đường thẳng \( EF \) là đường trung bình.

### Kết luận

- Ta đã chứng minh được ba phần của bài toán là \( \triangle AMN \) cân, \( MN \perp EF \), và \( AI \perp EF \) dựa trên các tính chất hình học và vị trí của các điểm trong tam giác \( ABC \).