Để rút gọn biểu thức \(\frac{5x + 6}{x^2 - 4} + \frac{2}{x + 2} + \frac{4}{2 - x}\), trước tiên ta sẽ phân tích và biến đổi các phần của biểu thức.

1. Phân tích mẫu số \(x^2 - 4\):

\[
x^2 - 4 = (x + 2)(x - 2)
\]

2. Biến đổi phần tử thứ ba \(\frac{4}{2 - x}\):

\[
\frac{4}{2 - x} = \frac{4}{-(x - 2)} = -\frac{4}{x - 2}
\]

3. Thay thế vào biểu thức ban đầu:

\[
\frac{5x + 6}{(x + 2)(x - 2)} + \frac{2}{x + 2} - \frac{4}{x - 2}
\]

Bây giờ, chúng ta có cùng mẫu số cho từng phần trên:

\[
= \frac{5x + 6}{(x + 2)(x - 2)} + \frac{2(x - 2)}{(x + 2)(x - 2)} - \frac{4(x + 2)}{(x + 2)(x - 2)}
\]

4. Kết hợp các phân số:

\[
= \frac{5x + 6 + 2(x - 2) - 4(x + 2)}{(x + 2)(x - 2)}
\]

Tiến hành tính toán tử số:

\[
= 5x + 6 + 2x - 4 - 4x - 8
\]
\[
= (5x + 2x - 4x) + (6 - 4 - 8) = 3x - 6
\]

5. Hợp nhất tất cả lại:

\[
= \frac{3x - 6}{(x + 2)(x - 2)}
\]

6. Rút gọn tử số \(3x - 6\):

\[
= \frac{3(x - 2)}{(x + 2)(x - 2)}
\]

7. Cắt bỏ \((x - 2)\) (điều này làm được khi \(x \neq 2\)):

\[
= \frac{3}{x + 2}, \quad x \neq 2
\]

Vậy biểu thức rút gọn cuối cùng là:

\[
\frac{3}{x + 2}, \quad x \neq 2
\]