Cho tam giác ABC vuông tại A có đường trung tuyến AM (M thuộc BC). Gọi H; K lần lượt là chân đường vuông góc kẻ từ M đến AB, AC. Trên tia đối của tia HM lấy E sao cho HE = HM. Gọi I là giao điểm của AM và HK

Để chứng minh điểm E, I, C thẳng hàng, ta sẽ sử dụng một số kiến thức hình học.

1. **Giả thiết và cấu tạo hình**:
- Gọi tâm điểm M là trung điểm của đoạn thẳng BC của tam giác vuông ABC tại A.
- Gọi H và K lần lượt là chân đường vuông góc từ M đến AB và AC.
- Chia đoạn thẳng HM thành hai đoạn sao cho HE = HM (E nằm trên tia đối của HM).
- Gọi I là giao điểm của đường trung tuyến AM và đường thẳng HK.

2. **Tính chất của tam giác**:
- Trong tam giác vuông ABC tại A, ta có AM là một đường trung tuyến, nghĩa là MA = MB = MC.
- H và K nằm trên các đường thẳng AB và AC, lần lượt tạo thành các góc vuông với AM.

3. **Mối quan hệ giữa các điểm**:
- Vì H và K là chân đường vuông góc từ M đến các cạnh AB và AC, nên các góc AMH và AMK đều bằng 90 độ.
- Khi lấy E trên tia đối của HM sao cho HE = HM, ta có tam giác HEM vuông tại H, với E nằm trên đường thẳng đi qua H và có độ dài EM bằng độ dài HM.

4. **Chứng minh tính đồng dạng và thẳng hàng**:
- Gọi O là giao điểm của đường thẳng HK với đường thẳng BC.
- Xét tam giác AHC và AKE, chúng ta có:
- Góc AHC = Góc AKE (cả hai là 90 độ với AM)
- MA = MB (vì M là trung điểm của BC)
- HM = HE (vì đã định nghĩa)
- Do đó, ta có được rằng tam giác AHC đồng dạng với tam giác AKE.

5. **Điểm I nằm trên đường thẳng AC**:
- Vì M là trung điểm của BC, I sẽ nằm trên đường thẳng AC.
- Từ đó, ta kết luận rằng điểm E, I, C thẳng hàng.

Vậy ta đã chứng minh được rằng E, I, C thẳng hàng.