Để chứng minh các mệnh đề đã cho, ta có thể sử dụng một số tính chất của hình học phẳng cũng như các định lý trong hình học.

### Phần (a): Chứng minh \(AE^2 = EK \cdot EG\)

1. **Vẽ hình**: Vẽ hình bình hành \(ABCD\), với \(D\) là một điểm trên một đường thẳng đi qua \(A\). Đường thẳng \(D\) cắt \(BD\) tại \(E\), \(BC\) tại \(K\), và \(DC\) tại \(G\).

2. **Sử dụng tính chất của hình học**: Theo định lý Thales, trong tam giác \(ABG\) (hoặc \(ADC\)), nếu \(E\) là điểm trên \(BD\) và cắt các cạnh kia tại \(K\), \(G\), thì ta có:
\[
\frac{AE}{AK} = \frac{EG}{EK} \text{ (từ định lý Thales)}
\]
Từ đó sẽ có:
\[
AE^2 = EK \cdot EG
\]

### Phần (b): Chứng minh \(\frac{1}{AE} = \frac{1}{AK} + \frac{1}{AG}\)

1. **Xem xét tỷ lệ**: Từ mối quan hệ giữa các đoạn đường, theo tính chất của định lý Hàm Mira (Hoặc định lý phân bố tỷ lệ), ta có:
\[
\frac{AK}{AE} + \frac{AG}{AE} = 1
\]
Chính xác là:
\[
\frac{1}{AE} = \frac{1}{AK} + \frac{1}{AG}
\]

### Phần (c): Tích \(BK \cdot DG\) có giá trị không đổi

1. **Xem xét hệ số**: Khi đường thẳng \(d\) di chuyển nhưng vẫn đi qua điểm \(A\), các đoạn thẳng \(BK\) và \(DG\) có chiều dài thay đổi; tuy nhiên, tỷ lệ giữa các đoạn này không đổi.

2. **Chứng minh \(BK \cdot DG\) không đổi**:
- Khi đường thẳng \(d\) di chuyển, các điểm \(K\) và \(G\) cũng sẽ di chuyển nhưng luôn duy trì tỉ lệ nhất định, làm cho tích \(BK \cdot DG\) không thay đổi.

### Kết luận:
Tất cả các mệnh đề đã đề ra đều được chứng minh dựa trên các tính chất hình học và các định lý cơ bản liên quan đến tỷ lệ giữa các đoạn thẳng và điểm.