Để tính \( A = \frac{1}{a^7} + \frac{1}{b^7} \) với \( a = \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{2} \) và \( b = \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{2} \), ta cần tìm giá trị của \( a^7 \) và \( b^7 \).

Bước 1: Tính \( a \) và \( b \):

\[
a = \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{2}
\]
\[
b = \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{2}
\]

Bước 2: Tính \( a^2 \) và \( b^2 \):

\[
a^2 = \left( \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{2} \right)^2 = \frac{6 + 2 + 2\sqrt{12}}{4} = \frac{8 + 4\sqrt{3}}{4} = 2 + \sqrt{3}
\]

\[
b^2 = \left( \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{2} \right)^2 = \frac{6 + 2 - 2\sqrt{12}}{4} = \frac{8 - 4\sqrt{3}}{4} = 2 - \sqrt{3}
\]

Bước 3: Tính \( a + b \) và \( ab \):

\[
a + b = \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{2} = \sqrt{6}
\]
\[
ab = \left( \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{2} \right) \left( \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{2} \right) = \frac{6 - 2}{4} = 1
\]

Bước 4: Sử dụng định lý Vieta để tính \( a^n + b^n \) qua quy tắc đệ quy. Cụ thể, với \( a^n + b^n \):

\[
U_n = a^n + b^n
\]
ta có công thức:
\[
U_n = (a + b) U_{n-1} - ab U_{n-2}
\]

Bước 5: Tính cụ thể cho \( n \) từ 1 đến 7.

- \( U_0 = 2 \)
- \( U_1 = \sqrt{6} \)
- \( U_2 = 2 + \sqrt{3} + 2 - \sqrt{3} = 4 \)
- \( U_3 = \sqrt{6} \cdot 4 - 1 \cdot \sqrt{6} = 4\sqrt{6} - \sqrt{6} = 3\sqrt{6} \)
- \( U_4 = \sqrt{6} \cdot 3\sqrt{6} - 1 \cdot 4 = 18 - 4 = 14 \)
- \( U_5 = \sqrt{6} \cdot 14 - 1 \cdot 3\sqrt{6} = 14\sqrt{6} - 3\sqrt{6} = 11\sqrt{6} \)
- \( U_6 = \sqrt{6} \cdot 11\sqrt{6} - 1 \cdot 14 = 66 - 14 = 52 \)
- \( U_7 = \sqrt{6} \cdot 52 - 1 \cdot 11\sqrt{6} = 52\sqrt{6} - 11\sqrt{6} = 41\sqrt{6} \)

Bước 6: Lập lại giá trị của \( A \):

\[
A = \frac{1}{U_7} = \frac{1}{41\sqrt{6}}
\]

Kết quả cuối cùng là:

\[
A = \frac{1}{41\sqrt{6}}
\]