Để tính diện tích tam giác ABC, trước tiên ta sẽ tính độ dài của đoạn HC.

Theo đề bài, ta có:
- \( HB = \frac{1}{3}HC \)

Gọi \( HC = x \). Khi đó, \( HB = \frac{1}{3}x \).

Từ đó, ta có:
\[
BC = HB + HC = \frac{1}{3}x + x = \frac{4}{3}x
\]

Diện tích tam giác AHB được cho là \( 6 \, cm² \) và có đường cao \( AH = 4 \, cm \). Diện tích được tính theo công thức:
\[
S_{AHB} = \frac{1}{2} \times AB \times AH
\]
Gọi \( AB = b \):
\[
6 = \frac{1}{2} \times b \times 4
\]
\[
6 = 2b \quad \Rightarrow \quad b = 3 \, cm
\]

Vì vậy, \( AB = 3 \, cm \).

Tính diện tích của tam giác ABC:
\[
S_{ABC} = \frac{1}{2} \times BC \times AH
\]
Với \( BC = \frac{4}{3}x \) và \( AH = 4 \), nên ta cần tính \( x \) qua diện tích tam giác AHC. Biết rằng:
\[
S_{AHC} = S_{ABC} - S_{AHB}
\]

Diện tích AHC cũng được tính theo công thức tương tự:
\[
S_{AHC} = \frac{1}{2} \times AC \times AH
\]

Suy ra:
\[
S_{ABC} = S_{AHB} + S_{AHC} = 6 + S_{AHC}
\]

Thay \( S_{AHC} = \frac{1}{2} \times (ab) \times 4 = \frac{4}{3}x \times 4 = \frac{16}{3}x \):
\[
S_{ABC} = 6 + \frac{16}{3}x
\]

Bây giờ cũng cần tìm mối quan hệ giữa \( HC \) và \( b \):
\[
x = 3 \cdot 4 = 12 \quad \Rightarrow \quad HC = 12
\]
Khi đó \( BC = \frac{4}{3}(12) = 16 \).

Tính diện tích ABC:
\[
S_{ABC} = \frac{1}{2} \times 16 \times 4 = 32\, cm²
\]

Vậy, diện tích tam giác ABC là \( 32 \, cm² \).