Để giải bài toán này, chúng ta đi qua từng bước:

### Bước 1: Phân tích hàm số \( y = x^2 + 5x - 4 \)

Hàm này là một hàm bậc 2. Để phân tích bảng biến thiên, ta cần tìm cực trị của hàm số.

1. **Tính đạo hàm:**
\[
y' = 2x + 5
\]
Đặt \( y' = 0 \):
\[
2x + 5 = 0 \implies x = -\frac{5}{2}
\]

2. **Tính giá trị của hàm tại điểm cực trị:**
\[
y\left(-\frac{5}{2}\right) = \left(-\frac{5}{2}\right)^2 + 5\left(-\frac{5}{2}\right) - 4 = \frac{25}{4} - \frac{25}{2} - 4 = \frac{25}{4} - \frac{50}{4} - \frac{16}{4} = -\frac{41}{4}
\]

3. **Dấu của hệ số a (1 > 0)**: Hàm số có dạng parabol mở lên.

### Bảng biến thiên của hàm số \( y = x^2 + 5x - 4 \)

| \( x \) | \( -\infty \) | \( -\frac{5}{2} \) | \( +\infty \) |
|-----------------------------|---------------|---------------------|-----------------|
| \( y \) | \( +\infty \) | \( -\frac{41}{4} \) | \( +\infty \) |
| Tăng/Giảm | Tăng | Cực tiểu | Tăng |

### Bước 2: Xét phương trình \( x^2 - 5x + 7 + 2m = 0 \)

Để xét số nghiệm của phương trình này, ta cần tính định thức của nó.

1. **Đặt lại phương trình:**
\[
x^2 - 5x + (7 + 2m) = 0
\]

2. **Tính định thức:**
\[
\Delta = (-5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (7 + 2m) = 25 - 4(7 + 2m) = 25 - 28 - 8m = -3 - 8m
\]

3. **Xét dấu của định thức \( \Delta \):**
- Nếu \( \Delta > 0 \) thì phương trình có 2 nghiệm phân biệt.
- Nếu \( \Delta = 0 \) thì phương trình có 1 nghiệm (nghiệm kép).
- Nếu \( \Delta < 0 \) thì phương trình không có nghiệm.

### Điều kiện để có số nghiệm:

1. **Xét \( -3 - 8m > 0 \)**:
\[
-3 > 8m \implies m < -\frac{3}{8}
\]
(2 nghiệm)

2. **Xét \( -3 - 8m = 0 \)**:
\[
-3 = 8m \implies m = -\frac{3}{8}
\]
(1 nghiệm)

3. **Xét \( -3 - 8m < 0 \)**:
\[
-3 < 8m \implies m > -\frac{3}{8}
\]
(0 nghiệm)

### Kết luận:

- Nếu \( m < -\frac{3}{8} \) thì phương trình có 2 nghiệm.
- Nếu \( m = -\frac{3}{8} \) thì phương trình có 1 nghiệm.
- Nếu \( m > -\frac{3}{8} \) thì phương trình không có nghiệm.