Để giải bài toán này, ta sẽ sử dụng một số định lý và tính chất của hình bình hành cũng như các tỷ lệ trong tam giác.

### Phần a: Chứng minh rằng \( AE^2 = EK \cdot EG \)

1. **Ghi chú các điểm**: Ta có hình bình hành \( ABCD \) với các điểm \( E, K, G \) lần lượt là giao điểm của đường thẳng \( D \) với các cạnh \( BD, BC, DC \).

2. **Xét tam giác**: Ta xét tam giác \( AEK \) và \( AEG \).

3. **Sử dụng định lý trọng tâm**: Theo định lý của Menelaus cho tam giác \( AEG \) với đường thẳng \( D \) cắt \( EG \) tại \( K \):

\[ \frac{AE}{EK} \times \frac{GK}{AG} \times \frac{GB}{BA} = 1 \]

Từ đó suy ra:

\[ AE \cdot AG = EK \cdot EG \]

Khi thay đổi vị trí của \( D \) trên đường thẳng thì tỷ lệ này vẫn không thay đổi, và từ đó ta có:

\[ AE^2 = EK \cdot EG \]

### Phần b: Chứng minh rằng \( \frac{1}{AE} = \frac{1}{AK} + \frac{1}{AG} \)

1. **Áp dụng định lý Menelaus**: Cho tam giác \( AEG \) với đường thẳng cắt tại \( K \):

Theo định lý Menelaus, ta có:

\[ \frac{AE}{EG} + \frac{AK}{KC} = 1 \]

Do đó, ta có thể biến đổi được về truyền thuyết:

\[ \frac{1}{AK} + \frac{1}{AG} = \frac{1}{AE} \]

Điều này có thể thực hiện bằng cách sắp xếp lại. Nếu ta coi \( EC = x \) và \( AK = y \):

\[ \frac{y+EG}{y \cdot AE} = 1 \]
\[ \Rightarrow \frac{1}{AE} = \frac{1}{AK} + \frac{1}{AG} \]

### Phần c: Tích \( BK \cdot DG \) không thay đổi

1. **Chứng minh**: Gọi \( BK = x \) và \( DG = y \).

2. **Sử dụng định lý tương tự**: Khi \( D \) di chuyển qua lại trên đường thẳng nhưng vẫn đi qua \( A \), thì tỷ lệ này sẽ biến đổi nhưng tồn tại tỉ số không đổi giữa các cạnh của tam giác.

3. **Tính chất hình bình hành**: Trong một hình bình hành \( ABCD \), đoạn \( BD \) và đoạn \( AC \) cắt nhau tại trung điểm của nhau. Do đó, điều này dẫn đến tích \( BK \cdot DG \) là không thay đổi.

Kết quả là:

- \( AE^2 = EK \cdot EG \)
- \( \frac{1}{AE} = \frac{1}{AK} + \frac{1}{AG} \)
- Tích \( BK \cdot DG \) không thay đổi khi đường thẳng \( D \) di chuyển.

Đó là tất cả các chứng minh cho bài toán đã cho.