Để chứng minh rằng \( AE \parallel CF \), chúng ta sẽ sử dụng định nghĩa về góc và tính chất của các tia vuông góc.

Bắt đầu, hãy phân tích hình ảnh từ mô tả.

1. **Gọi Hệ Trục Toạ Độ:** Giả sử ba điểm A, B và C nằm trên trục hoành. Cụ thể, cho \( A = (a, 0) \), \( B = (b, 0) \), và \( C = (c, 0) \) với \( a < b < c \).

2. **Xác định các trung điểm:**
- Trung điểm M của AB:
\[
M = \left(\frac{a+b}{2}, 0\right)
\]
- Trung điểm N của BC:
\[
N = \left(\frac{b+c}{2}, 0\right)
\]

3. **Vẽ các tia Mx và Ny:**
- Vì các tia \( Mx \) và \( Ny \) vuông góc với AC, nên chúng sẽ cắt một đường thẳng đi qua B.

4. **Xác định E và F:**
- Đường thẳng đi qua B cắt tia \( Mx \) tại E và cắt tia \( Ny \) tại F.

5. **Chứng minh AE // CF:**

Giả sử góc \( \angle MBE = \theta \) và góc \( \angle NBF = \alpha \).

- Bởi vì \( Mx \) vuông góc với \( AC \), nên
\[
\angle ABM = 90^\circ - \theta.
\]
- Tương tự, vì \( Ny \) cũng vuông góc với \( AC \), nên
\[
\angle CBN = 90^\circ - \alpha.
\]

Các góc \( \angle ABM \) và \( \angle CBN \) sẽ tương đương với \( \angle ABE \) và \( \angle CBF \), tức là:
\[
\angle ABE = 90^\circ - \theta \quad \text{và} \quad \angle CBF = 90^\circ - \alpha.
\]

Theo tính chất của các góc chéo trong hai đường thẳng song song, ta thấy rằng:
\[
AE \parallel CF \Longleftrightarrow \angle ABE = \angle CBF.
\]

Do đó, áp dụng định lý góc đồng vị, ta có được:

\[
AE \parallel CF,
\]
từ đó dẫn đến kết luận mà ta cần chứng minh.

### Kết luận:
Vậy, \( AE \parallel CF \).